Outil de calcul de dérivées secondes f''. La dérivation seconde est l'application de l'outil de dérivation à la dérivée (première) d'une fonction, soit une double dérivation sur la même variable.
Dérivée Seconde d'une Fonction - dCode
Catégorie(s) : Fonctions
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Calculer la dérivée de la fonction (également appelée la dérivée première), puis la dérivée de la dérivée (appelée dérivée seconde)
Exemple : $$ f(x) = x^2+\sin(x) \\ f´(x) = 2 x+\cos(x) \\ f´´(x) = 2 - \sin(x) $$
En physique la dérivée seconde est généralement utilisée pour les calculs d'accélération, en économie elle permet d'analyser des phénomènes liés aux taux de croissance.
Les dérivées secondes à connaitre sont :
Nom | Fonction | Dérivée seconde |
---|---|---|
constante/nombre | $$ k \in \mathbb{R} $$ | $$ 0 $$ |
variable (seule) | $$ x $$ | $$ 0 $$ |
puissance n (exposant) | $$ x^n $$ | $$ n(n-1) x^{n-2} $$ |
inverse | $$ \frac{1}{x} $$ | $$ \frac{2}{x^3} $$ |
racine | $$ \sqrt{x} $$ | $$ -\frac{1}{4x^{3/2}} $$ |
logarithme népérien | $$ \ln |x| $$ | $$ -\frac{1}{x^2} $$ |
exponentielle | $$ e^x $$ | $$ e^x $$ |
exposant x | $$ a^x $$ | $$ a^x (\ln(a))^2 $$ |
sinus | $$ \sin(x) $$ | $$ -\sin(x) $$ |
cosinus | $$ \cos(x) $$ | $$ -\cos(x) $$ |
tangente | $$ \tan(x) $$ | $$ \frac{2\tan(x)}{\cos^2(x)} $$ |
Une dérivée seconde peut être écrite $ f´´(x) $ ou $ f^{(2)}(x) $ ou $ \ddot{f} $ (double point) ou $ \frac{d^2f}{dx^2} $.
Sur dCode utiliser f ' ' qui est la notation la plus utilisée (et la plus rapide à écrire).
La dérivée seconde est utilisée pour connaitre la variation de la pente de la courbe représentant la fonction. Pour un intervalle donné :
— une dérivée seconde positive signifie une augmentation de la pente (fonction convexe)
— une dérivée seconde négative signifie une diminution de la pente (fonction concave)
— une dérivée seconde nulle signifie une courbe droite/rectiligne
Pour un point donné :
— une dérivée seconde s'annulant avec un changement de signe signifie un point d'inflexion, la courbure de la représentation graphique change et s'inverse. C'est un point stationnaire, il peut s'agir d'un maximum de fonction ou d'un minimum de la fonction.
Toute fonction qui est non continue, et/ou non dérivable en au moins un point, n'a pas de dérivée seconde. Voir les outils de calcul de domaines de définition d'une fonction, et le domaine de dérivation d'une fonction.
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Citer comme source bibliographique :
Dérivée Seconde d'une Fonction sur dCode.fr [site web en ligne], consulté le 04/12/2024,