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Maximum d'une Fonction

Outil pour déterminer la valeur maximum d'une fonction : la valeur maximale que peut prendre la fonction. Il s'agit d'un maximum global et non d'un maximum local.

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Maximum d'une Fonction -

Catégorie(s) : Fonctions

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Maximum d'une Fonction

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Outil pour déterminer la valeur maximum d'une fonction : la valeur maximale que peut prendre la fonction. Il s'agit d'un maximum global et non d'un maximum local.

Réponses aux Questions

Quelle est la définition d'un maximum de fonction ?

Pour toute fonction $ f $ définie sur un intervalle $ I $, en prenant $ m $ un réel de cet intervalle, si $ f(x) <= f(m) $ sur la totalité de l'intervalle $ I $ alors $ f $ atteint son maximum en $ x=m $ sur $ I $. Trouver le maximum d'une fonction c'est calculer $ f(m) $.

Exemple : Maximiser $ f(x) = -x^2 $, définie sur $ \mathbb{R} $, la fonction atteint son maximum en $ x=0 $, $ f(x=0) = 0 $ et $ f(x) <= 0 $ sur $ \mathbb{R} $.

Le maximum d'une fonction est systématiquement défini sur un intervalle, il peut être local (entre 2 bornes), ou global : sur le domaine de définition de la fonction.

Comment calculer le maximum d'une fonction ?

Les maximums d'une fonction se détectent lorsque la dérivée s'annule et change de signe (passant par 0 du coté positif au coté négatif).

Exemple : Déterminer le maximum de la fonction $ f(x) = -x^2 + 1 $. La fonction se dérive en $ f'(x) = -2x $ qui s'annule en $ x = 0 $ car $ f'(x) = 0 \iff -2x = 0 \iff x = 0 $. Un extremum se trouve donc en 0, sa valeur est $ f(0) = 1 $. Les calculs de limites $$ \lim_{x\to0^-}{f'(x) = 0^+} \\ \lim_{x\to0^+}{f'(x) = 0^-} $$ montrent que la dérivée change de signe de positif $ 0^+ $ à négatif $ 0^- $. L'extremum global de la fonction est donc $ 1 $ pour $ x=0 $.

dCode a aussi des outils pour calculer les minimums de fonctions.

Comment calculer le maximum local sur un intervalle ?

Ajouter une ou plusieurs contraintes indiquant les conditions pour chaque variable.

Exemple : Trouver le maximum de $ \cos{x} $ pour $ -\pi < x < \pi $

Indiquer à dCode plusieurs équations avec l'opérateur && (ET logique) pour séparer les équations

Qu'est-ce qu'un extremum ?

Un extremum est le nom donné à une valeur extrême d'une fonction, valeur qui peut être maximale (maximum d'une fonction) ou minimale (minimum d'une fonction).

Qu'est ce qu'un majorant d'une fonction ?

Le majorant est toute valeur supérieure ou égale à la valeur maximum atteinte par la fonction.

Quel est le maximum d'une fonction polynomiale du 2nd degré ?

Pour une fonction polynome du second degré $ f (x) = ax^2+bx+c $ alors

- Si $ a < 0 $, le maximum de $ f $ est atteint en $ -\frac{b}{2a} $

- Si $ a > 0 $, le maximum de $ f $ est $ +\infty $

Code source

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Questions / Commentaires

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