Minimum d'une Fonction

Pour toute fonction $ f $ définie sur un intervalle $ I $, et $ m $ un réel de cet intervalle, si $ f(x) <= f(m) $ sur l'intervalle $ I $ alors $ f $ atteint son minimum pour $ x=m $ sur $ I $. Dans ce cas, $ f(m) $ est la valeur minimum de la fonction, atteinte lorsque $ x=m $.

Le minimum d'une fonction est systématiquement défini sur un intervalle (qui peut etre le domaine de définition de la fonction).

Déterminer le minimum d'une fonction $ f $ revient à calculer $ f(m) $. Pour trouver $ m $, utiliser la dérivée de la fonction. La valeur minimum d'une fonction se trouve lorsque la dérivée s'annule et change de signe passant de négatif à positif.

Exemple : $ f(x) = x^2 $ définie sur $ \mathbb{R} $, sa dérivée est $ f'(x) = 2x $, elle s'annule en $ x = 0 $ car $ f'(x) = 0 \iff 2x = 0 \iff x=0 $. La dérivée passe de négatif à positif en $ x = 0 $ donc la fonction $ f(x) $ admet donc un minimum en $ x=0 $, $ f(x=0) = 0 $ et $ f(x) >= 0 $ sur $ \mathbb{R} $.

Ajouter une ou plusieurs conditions indiquant les contraintes d'intervalle pour chaque variable.

Exemple : Trouver le minimum de $ \sin{x} $ pour $ 0 < x < \pi $

Indiquer plusieurs équations avec l'opérateur ET logique && pour séparer les équations

Un extremum est une valeur extrême d'une fonction, cette valeur peut être maximale (aussi appelé maximum d'une fonction) ou minimale (aussi appelé minimum d'une fonction).

Le minorant est toute valeur inférieure ou égale à la valeur minimum atteinte par la fonction.

Pour une fonction polynome du second degré $ f (x) = ax^2+bx+c $ alors

- Si $ a > 0 $, le minimum de $ f $ est atteint en $ -\frac{b}{2a} $

- Si $ a < 0 $, le minimum de $ f $ est $ -\infty $