Minimum d'une Fonction

Pour toute fonction $ f $ définie sur un intervalle $ I $, étant donné $ m $ un réel appartenant à $ I $, si $ f(x) <= f(m) $ sur l'intervalle $ I $ alors $ f $ atteint son minimum pour $ x=m $ sur $ I $. Dans ce cas, $ f(m) $ est la valeur minimum de la fonction, atteinte lorsque $ x=m $.

Le minimum d'une fonction est systématiquement défini sur un intervalle (qui peut etre le domaine de définition de la fonction).

Déterminer le minimum d'une fonction $ f $ revient à calculer $ f(m) $. Pour trouver $ m $, utiliser la dérivée de la fonction. La valeur minimum d'une fonction se trouve lorsque la dérivée s'annule et change de signe passant de négatif à positif.

Exemple : $ f(x) = x^2 $ définie sur $ \mathbb{R} $, sa dérivée est $ f'(x) = 2x $, elle s'annule en $ x = 0 $ car $ f'(x) = 0 \iff 2x = 0 \iff x=0 $. La dérivée passe de négatif à positif en $ x = 0 $ donc la fonction $ f(x) $ admet donc un minimum en $ x=0 $, $ f(x=0) = 0 $ et $ f(x) >= 0 $ sur $ \mathbb{R} $.

Ajouter une ou plusieurs conditions indiquant les contraintes d'intervalle pour chaque variable.

Exemple : Trouver le minimum de $ \sin{x} $ pour $ 0 < x < \pi $

Indiquer plusieurs équations avec l'opérateur ET logique && pour séparer les équations

Un extremum est une valeur extrême d'une fonction, cette valeur peut être maximale (aussi appelé maximum d'une fonction) ou minimale (aussi appelé minimum d'une fonction).

Le minorant est toute valeur inférieure ou égale à la valeur minimum atteinte par la fonction.

Une fonction constante $ f (x) = c $ est une droite qui vaut toujours $ c $, donc son minimum est $ c $, atteint pour toute valeur de $ x $

Une fonction droite/affine $ f (x) = ax + b $ a toujours pour minimum $ -\infty $

- Si $ a < 0 $, le minimum de $ f $ est $ -\infty $ quand $ x $ tend vers $ +\infty $

- Si $ a > 0 $, le minimum de $ f $ est $ -\infty $ quand $ x $ tend vers $ -\infty $

Une fonction polynomiale du second degré de la forme $ f (x) = ax^2+bx+c $ alors

- Si $ a > 0 $, le minimum de $ f $ est $ (-b^2 + 4 a c)/(4 a) $ atteint en $ x = -\frac{b}{2a} $

- Si $ a < 0 $, le minimum de $ f $ est $ +\infty $ when $ x $ tends to $ +\infty $