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Minimum d'une Fonction

Outil pour déterminer la valeur minimum-function d'une fonction : la valeur minimale que peut prendre la fonction, il s'agit du minimum global et non minimum local.

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Minimum d'une Fonction -

Catégorie(s) : Fonctions

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Minimum d'une Fonction

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Réponses aux Questions (FAQ)

Quelle est la définition du minimum d'une fonction ?

Pour toute fonction $ f $ définie sur un intervalle $ I $, étant donné $ m $ un réel appartenant à $ I $, si $ f(x) <= f(m) $ sur l'intervalle $ I $ alors $ f $ atteint son minimum pour $ x=m $ sur $ I $. Dans ce cas, $ f(m) $ est la valeur minimum de la fonction, atteinte lorsque $ x=m $.

Le minimum d'une fonction est systématiquement défini sur un intervalle (qui peut etre le domaine de définition de la fonction).

Comment trouver le minimum d'une fonction ?

Déterminer le minimum d'une fonction $ f $ revient à calculer $ f(m) $. Pour trouver $ m $, utiliser la dérivée de la fonction. La valeur minimum d'une fonction se trouve lorsque la dérivée s'annule et change de signe passant de négatif à positif.

Exemple : $ f(x) = x^2 $ définie sur $ \mathbb{R} $, sa dérivée est $ f'(x) = 2x $, elle s'annule en $ x = 0 $ car $ f'(x) = 0 \iff 2x = 0 \iff x=0 $. La dérivée passe de négatif à positif en $ x = 0 $ donc la fonction $ f(x) $ admet donc un minimum en $ x=0 $, $ f(x=0) = 0 $ et $ f(x) >= 0 $ sur $ \mathbb{R} $.

Comment calculer le minimum local sur un intervalle ?

Ajouter une ou plusieurs conditions indiquant les contraintes d'intervalle pour chaque variable.

Exemple : Trouver le minimum de $ \sin{x} $ pour $ 0 < x < \pi $

Indiquer plusieurs équations avec l'opérateur ET logique && pour séparer les équations

Qu'est-ce qu'un extremum ?

Un extremum est une valeur extrême d'une fonction, cette valeur peut être maximale (aussi appelé maximum d'une fonction) ou minimale (aussi appelé minimum d'une fonction).

Qu'est ce qu'un minorant d'une fonction ?

Le minorant est toute valeur inférieure ou égale à la valeur minimum atteinte par la fonction.

Quel est le minimum d'une fonction constante ?

Une fonction constante $ f (x) = c $ est une droite qui vaut toujours $ c $, donc son minimum est $ c $, atteint pour toute valeur de $ x $

Quel est le minimum d'une fonction affine ?

Une fonction droite/affine $ f (x) = ax + b $ a toujours pour minimum $ -\infty $

- Si $ a < 0 $, le minimum de $ f $ est $ -\infty $ quand $ x $ tend vers $ +\infty $

- Si $ a > 0 $, le minimum de $ f $ est $ -\infty $ quand $ x $ tend vers $ -\infty $

Quel est le minimum d'une fonction polynomiale du 2nd degré ?

Une fonction polynomiale du second degré de la forme $ f (x) = ax^2+bx+c $ alors

- Si $ a > 0 $, le minimum de $ f $ est $ (-b^2 + 4 a c)/(4 a) $ atteint en $ x = -\frac{b}{2a} $

- Si $ a < 0 $, le minimum de $ f $ est $ +\infty $ when $ x $ tends to $ +\infty $

Code source

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Source : https://www.dcode.fr/minimum-fonction
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