Minimum d'une Fonction

Pour toute fonction \( f \) définie sur un intervalle \( I \), et \( m \) un réel de cet intervalle, si \( f(x) <= f(m) \) sur l'intervalle \( I \) alors \( f \) atteint son minimum pour \( x=m \) sur \( I \). On dit alors que \( f(m) \) est la valeur minimum de la fonction, atteinte lorsque \( x=m \).

Le minimum d'une fonction est systématiquement défini sur un intervalle (qui peut etre le domaine de définition de la fonction).

Pour calculer le minimum d'une fonction \( f \), il faut donc calculer \( f(m) \). Pour trouver \( m \), utiliser la dérivée de la fonction. Le minimum d'une fonction se trouve lorsque la dérivée s'annule et change de signe passant de négatif à positif.

Exemple : \( f(x) = x^2 \) définie sur \( \mathbb{R} \), sa dérivée est \( f'(x) = 2x \), elle s'annule en \( x = 0 \) car \( f'(x) = 0 \iff 2x = 0 \iff x=0 \). La dérivée passe de négatif à positif en \( x = 0 \) donc la fonction \( f(x) \) admet donc un minimum en \( x=0 \), \( f(x=0) = 0 \) et \( f(x) >= 0 \) sur \( \mathbb{R} \).

Un extremum est une valeur extrême d'une fonction, cette valeur peut être maximale (on parle de maximum d'une fonction) ou minimale (on parle de minimum d'une fonction).