Minimum d'une Fonction

Pour toute fonction $ f $ définie sur un intervalle $ I $, et $ m $ un réel de cet intervalle, si $ f(x) <= f(m) $ sur l'intervalle $ I $ alors $ f $ atteint son minimum pour $ x=m $ sur $ I $. Dans ce cas, $ f(m) $ est la valeur minimum de la fonction, atteinte lorsque $ x=m $.

Le minimum d'une fonction est systématiquement défini sur un intervalle (qui peut etre le domaine de définition de la fonction).

Déterminer le minimum d'une fonction $ f $ revient à calculer $ f(m) $. Pour trouver $ m $, utiliser la dérivée de la fonction. La valeur minimum d'une fonction se trouve lorsque la dérivée s'annule et change de signe passant de négatif à positif.

Exemple : $ f(x) = x^2 $ définie sur $ \mathbb{R} $, sa dérivée est $ f'(x) = 2x $, elle s'annule en $ x = 0 $ car $ f'(x) = 0 \iff 2x = 0 \iff x=0 $. La dérivée passe de négatif à positif en $ x = 0 $ donc la fonction $ f(x) $ admet donc un minimum en $ x=0 $, $ f(x=0) = 0 $ et $ f(x) >= 0 $ sur $ \mathbb{R} $.

Un extremum est une valeur extrême d'une fonction, cette valeur peut être maximale (aussi appelé maximum d'une fonction) ou minimale (aussi appelé minimum d'une fonction).