Intervalle

Un intervalle est une notation qui permet de définir un ensemble de nombre réels compris entre une borne inférieure (valeur minimale admissible) et une borne supérieure (valeur maximale admissible).

Il existe 3 types d'intervalles (en prenant $ {a,b} \in \mathbb{R} $ avec $ a < b $) et une variable $ x \in \mathbb{R} $ :

- intervalle ouvert (ou intervalle non fermé)

Exemple : $ a < x < b = ] a ; b [ $

- intervalle fermé (ou intervalle non ouvert)

Exemple : $ a \leq x \leq b = [a,b] $

- intervalle semi-ouvert (ou semi-fermé)

Exemple : $ a < x \leq b = ]a,b] $ (intervalle semi-ouvert à gauche ou intervalle semi-fermé à droite)

Exemple : $ a \leq x < b = [a,b[ $ (intervalle semi-fermé à gauche ou intervalle semi-ouvert à droite)

Voici la liste les différents types d'intervalles et les inégalités correspondantes :

$ ] a ; b [ \iff a < x < b \quad $ (ou $ b > x > a $)

$ [ a ; b [ \iff a \leq x < b \quad $ (ou $ b > x \geq a $)

$ ] a ; b ] \iff a < x \leq b \quad $ (ou $ b \geq x > a $)

$ [ a ; b ] \iff a \leq x \leq b \quad $ (ou $ b \geq x \geq a $)

Une écriture de l'inégalité plus courte est possible si $ a $ ou $ b $ a pour valeur $ \infty $

$ ] -\infty ; b [ \iff x < b \quad $ (ou $ b > x $)

$ ] -\infty ; b ] \iff x \leq b \quad $ (ou $ b \geq x $)

$ ] a ; +\infty [ \iff x > a \quad $ (ou $ a < x $)

$ [ a ; +\infty [ \iff x \geq a \quad $ (ou $ a \leq x $)

Il y a deux écoles, deux manière d'écrire qui diffèrent par la notation des intervalle ouverts.

La notation européenne, qui utilise des crochets partout et qui note les intervalles ouverts avec un crochet vers l'extérieur : $ [ a ; b [ $

La notation américaine, qui utilise soit des crochets pour les intervalles fermées et note les intervalles ouverts avec une parenthèse : $ [ a ; b ) $