Dérivée d'une Fonction

Question 1

Qu'est-ce qu'une dérivée ? (Définition)

Answer

Les mathématiciens ont défini les dérivées par la formule $$ \frac{d}{dx}f = f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$

La dérivée d'une fonction $ f $ est notée $ f' $ (avec une apostrophe nommée prime) ou $ \frac{d}{dx}f $ où $ d $ est l'opérateur de dérivée et $ x $ la variable sur laquelle dériver.

Le calcul de dérivée est l'opération inverse du calcul de primitive (intégrale indéfinie).

Question 2

Comment calculer une dérivée ?

Answer

Le calcul de dérivée (ou dérivée première) se base principalement sur une liste de dérivées usuelles, déjà calculées et connues (voir ci-après).

Sur dCode, le calculateur de dérivée connait toutes les dérivées, indiquer la fonction et les variables sur lesquelles dériver pour obtenir le résultat du calcul de dérivée.

Exemple : $$ f(x) = x^2+\sin(x) \Rightarrow f'(x) = 2 x+\cos(x) $$

Le calcul de dérivée est souvent utilisé en physique pour calculer une vitesse.

Question 3

Quelle est la liste des dérivées usuelles?

Answer

Les dérivées à connaitre sont :

Nom	Fonction	Dérivée
constante/nombre	$$ k \in \mathbb{R} $$	$$ 0 $$
variable (seule)	$$ x $$	$$ 1 $$
puissance n (exposant)	$$ x^n $$	$$ n x^{n-1} $$
puissance négative	$$ x^{-n} $$	$$ -n x^{-n-1} $$
inverse	$$ \frac{1}{x} $$	$$ -\frac{1}{x^2} $$
inverse puissance	$$ \frac{1}{x^n} $$	$$ -\frac{n}{x^{n+1}} $$
racine	$$ \sqrt{x} $$	$$ \frac {1}{2\sqrt{x}} $$
racine nième	$$ \sqrt[n]x $$	$$ \frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}} $$
puissance fractionnaire	$$ x^{1/n} $$	$$ (1/n)x^{(1/n)-1} $$
logarithme népérien	$$ \ln \|x\| $$	$$ \frac{1}{x} $$
logarithme de base a	$$ \log_a \|x\| $$	$$ \frac{1}{x \ln a} $$
exponentielle	$$ e^x $$	$$ e^x $$
exposant x	$$ a^x $$	$$ a^x \ln a $$
sinus	$$ \sin(x) $$	$$ \cos(x) $$
cosinus	$$ \cos(x) $$	$$ - \sin(x) $$
tangente	$$ \tan(x) $$	$$ \frac{1}{\cos^2(x)} \\ = \sec^2(x) \\ = 1+\tan^2(x) \\ = \frac{2}{1+\cos(2x)} $$
secante	$$ \sec(x) = \frac{1}{\cos(x)} $$	$$ \frac{\tan(x)}{\cos(x)} \\ = \sec(x)\tan(x) \\ = \frac{2\sin(x)}{1+\cos(2x)} $$
cosecante	$$ \csc(x) = \frac{1}{\sin(x)} $$	$$ -\frac{\cos(x)}{\sin^2(x)} \\ = -\cot(x)\csc(x) \\ = \frac{2\cos(x)}{-1+\cos(2x)} $$
cotangente	$$ \cot(x) = \frac{1}{\tan(x)} $$	$$ - \frac{1}{\sin^2(x)} \\ = -1-\cot^2(x) \\ = -\csc^2(x) \\ = \frac{2}{-1+\cos(2x)} $$
arcsinus	$$ \arcsin(x) $$	$$ \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$
arccosinus	$$ \arccos(x) $$	$$ -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$
arctangente	$$ \arctan(x) $$	$$ \frac{1}{1+x^2} $$
sinus hyperbolique	$$ \sinh(x) $$	$$ \cosh(x) $$
cosinus hyperbolique	$$ \cosh(x) $$	$$ \sinh(x) $$
tangente hyperbolique	$$ \tanh(x) $$	$$ \frac{1}{\cosh^2(x)} \\ = 1 - \tanh^2(x) $$
cotangente hyperbolique	$$ \coth(x) $$	$$ \frac{-1}{\sinh^2(x)} \\ = 1 - \coth^2(x) $$
arcsinus hyperbolique	$$ \operatorname{arcsinh}(x) $$	$$ \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} $$
arccosinus hyperbolique	$$ \operatorname{arccosh}(x) $$	$$ \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} $$
arctangente hyperbolique	$$ \operatorname{arctanh}(x) $$	$$ \frac{1}{1-x^2} $$

Question 4

Quelle est la liste des dérivées des fonctions composées ?

Answer

Les dérivées des fonctions composées à connaitre sont :

Nom	Fonction Composée	Dérivée
fonction composée	$$ g \circ f $$	$$ (g' \circ f)\times f' $$
fonction puissance n (exponentiation)	$$ f^n $$	$$ n f^{n - 1} f' $$
sinus de fonction	$$ \sin(f) $$	$$ f' \cos(f) $$
cosinus de fonction	$$ \cos(f) $$	$$ - f' \sin(f) $$
exponentielle de fonction	$$ \exp(f) $$	$$ f' \exp(f) $$
racine de fonction (fonction positive)	$$ \sqrt{f} $$	$$ \frac{f'}{2\sqrt{f}} $$
logarithme de fonction (fonction positive)	$$ \ln(f) $$	$$ \frac{f'}{f} $$

Question 5

Comment calculer une dérivée seconde ?

Answer

Une dérivation seconde consiste à dériver deux fois, pour dCode, indiquer deux fois la même variable pour obtenir la dérivée seconde.

Le calcul de dérivée seconde est souvent utilisé en physique pour calculer une accélération (dérivée de la vitesse).

Question 6

Comment calculer une dérivée partielle ?

Answer

Une dérivée partielle est une dérivée qui ne s'applique que sur une variable, laissant les autres intactes.

Sur dCode, indiquer une seule variable si la fonction en a plusieurs pour obtenir une dérivée partielle.

Question 7

Comment calculer une primitive ?

Answer

Utiliser l'outil de calcul de primitives disponible sur dCode.

Dérivée d'une Fonction

Calculateur de Dérivée

Réponses aux Questions (FAQ)