Outil de calcul de dérivées. La dérivation est un outil fondamental dans l'analyse de fonctions qui permet de mesurer la sensibilité au changement d'une fonction.
Dérivée d'une Fonction - dCode
Catégorie(s) : Fonctions
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Dérivée d'une Fonction
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Réponses aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce qu'une dérivée ? (Définition)
Les mathématiciens ont défini les dérivées par la formule $$ \frac{d}{dx}f = f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$
La dérivée d'une fonction $ f $ est notée $ f' $ (avec une apostrophe nommée prime) ou $ \frac{d}{dx}f $ où $ d $ est l'opérateur de dérivée et $ x $ la variable sur laquelle dériver.
Le calcul de dérivée est l'opération inverse du calcul de primitive (intégrale indéfinie).
Comment calculer une dérivée ?
Le calcul de dérivée (ou dérivée première) se base principalement sur une liste de dérivées usuelles, déjà calculées et connues (voir ci-après).
Sur dCode, le calculateur de dérivée connait toutes les dérivées, indiquer la fonction et les variables sur lesquelles dériver pour obtenir le résultat du calcul de dérivée.
Exemple : $$ f(x) = x^2+\sin(x) \Rightarrow f'(x) = 2 x+\cos(x) $$
Le calcul de dérivée est souvent utilisé en physique pour calculer une vitesse.
Quelle est la liste des dérivées usuelles?
Les dérivées à connaitre sont :
| Nom | Fonction | Dérivée |
|---|---|---|
| constante/nombre | $$ k \in \mathbb{R} $$ | $$ 0 $$ |
| variable (seule) | $$ x $$ | $$ 1 $$ |
| puissance n (exposant) | $$ x^n $$ | $$ n x^{n-1} $$ |
| puissance négative | $$ x^{-n} $$ | $$ -n x^{-n-1} $$ |
| inverse | $$ \frac{1}{x} $$ | $$ -\frac{1}{x^2} $$ |
| inverse puissance | $$ \frac{1}{x^n} $$ | $$ -\frac{n}{x^{n+1}} $$ |
| racine | $$ \sqrt{x} $$ | $$ \frac {1}{2\sqrt{x}} $$ |
| racine nième | $$ \sqrt[n]x $$ | $$ \frac1{n\sqrt[n]{x^{n-1}}} $$ |
| puissance fractionnaire | $$ x^{1/n} $$ | $$ (1/n)x^{(1/n)-1} $$ |
| logarithme népérien | $$ \ln |x| $$ | $$ \frac{1}{x} $$ |
| logarithme de base a | $$ \log_a |x| $$ | $$ \frac{1}{x \ln a} $$ |
| exponentielle | $$ e^x $$ | $$ e^x $$ |
| exposant x | $$ a^x $$ | $$ a^x \ln a $$ |
| sinus | $$ \sin(x) $$ | $$ \cos(x) $$ |
| cosinus | $$ \cos(x) $$ | $$ - \sin(x) $$ |
| tangente | $$ \tan(x) $$ | $$ \frac{1}{\cos^2(x)} \\ = \sec^2(x) \\ = 1+\tan^2(x) \\ = \frac{2}{1+\cos(2x)} $$ |
| secante | $$ \sec(x) = \frac{1}{\cos(x)} $$ | $$ \frac{\tan(x)}{\cos(x)} \\ = \sec(x)\tan(x) \\ = \frac{2\sin(x)}{1+\cos(2x)} $$ |
| cosecante | $$ \csc(x) = \frac{1}{\sin(x)} $$ | $$ -\frac{\cos(x)}{\sin^2(x)} \\ = -\cot(x)\csc(x) \\ = \frac{2\cos(x)}{-1+\cos(2x)} $$ |
| cotangente | $$ \cot(x) = \frac{1}{\tan(x)} $$ | $$ - \frac{1}{\sin^2(x)} \\ = -1-\cot^2(x) \\ = -\csc^2(x) \\ = \frac{2}{-1+\cos(2x)} $$ |
| arcsinus | $$ \arcsin(x) $$ | $$ \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$ |
| arccosinus | $$ \arccos(x) $$ | $$ -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$ |
| arctangente | $$ \arctan(x) $$ | $$ \frac{1}{1+x^2} $$ |
| sinus hyperbolique | $$ \sinh(x) $$ | $$ \cosh(x) $$ |
| cosinus hyperbolique | $$ \cosh(x) $$ | $$ \sinh(x) $$ |
| tangente hyperbolique | $$ \tanh(x) $$ | $$ \frac{1}{\cosh^2(x)} \\ = 1 - \tanh^2(x) $$ |
| cotangente hyperbolique | $$ \coth(x) $$ | $$ \frac{-1}{\sinh^2(x)} \\ = 1 - \coth^2(x) $$ |
| arcsinus hyperbolique | $$ \operatorname{arcsh}(x) $$ | $$ \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} $$ |
| arccosinus hyperbolique | $$ \operatorname{arcch}(x) $$ | $$ \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} $$ |
| arctangente hyperbolique | $$ \operatorname{arcth}(x) $$ | $$ \frac{1}{1-x^2} $$ |
Comment calculer une dérivée seconde ?
Une dérivation seconde consiste à dériver deux fois, pour dCode, indiquer deux fois la même variable pour obtenir la dérivée seconde.
Le calcul de dérivée seconde est souvent utilisé en physique pour calculer une accélération (dérivée de la vitesse).
Comment calculer une dérivée partielle ?
Une dérivée partielle est une dérivée qui ne s'applique que sur une variable, laissant les autres intactes.
Sur dCode, indiquer une seule variable si la fonction en a plusieurs pour obtenir une dérivée partielle.
Comment calculer une primitive ?
Utiliser l'outil de calcul de primitives disponible sur dCode.
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