Exponentiation (Puissance)

Le calcul de $ a $ exposant $ b $ (aussi appelé $ a $ puissance $ b $ ou $ a $ exponentiel $ b $) correspond à multiplier $ a $ par lui-même $ b $ fois.

$$ a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_{b} $$

Exemple : $$ 2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32 $$

Dans le calcul d'exponentiation $ a^b = c $, la partie $ a $ est appelée la base, la partie $ b $ est appelée l'exposant, $ c $ est normalement appelé la puissance mais dans le langage courant puissance et exponentiation sont souvent échangés.

A l'instar des tables de multiplication, il existe une table des puissances mais celle-ci n'est pas symétrique (a^b n'est pas toujours égal à b^a). Voici la table en lecture ligne^colonne :

En mathématiques, une puissance s'écrit $ a $ exposant $ b $ soit $ a^b $.

En informatique, le calcul d'exponentiation est souvent indiqué par un circonflexe ^ : a^b pour a exposant b. Dans certains langages de programmation, la notation a**b (deux fois le signe de multiplication) est utilisée.

Une puissance 0 vaut 1. Tout nombre exposant 0 vaut 1. $$ a^0 = 1 $$

0 puissance 0 est un cas qui fait débat mais par convention, $ 0^0 = 1 $

Une puissance avec un exposant négatif est l'inverse d'une puissance positive.

$$ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $$

Exemple : $ 2^{-3} = \frac{1}{2^3} $

La puissance $ -1 $ en maths est équivalent à un inverse mathématique.

$$ n^{-1} = \frac{1}{n^1} = \frac{1}{n} $$

Exemple : $ 2^{-1} = \frac{1}{2} $

Pour calculer les $ x $ derniers chiffres d'une puissance $ a^b $, utiliser le calcul d'exponentiation modulaire $ a^b \mod 10^x $

Exemple : Chercher les 3 derniers chiffres de $ 2^20 = 1048576 $ c'est calculer $ 2^20 \mod 10^3 = 576 $ (NB: $ 10^3 = 1000 $)

L'exposant correspond au nombre de fois que la multiplication doit être effectuée. Si l'exposant n'est pas entier, il s'agit d'un calcul de racine, ce n'est pas géré par cette fonction. Utiliser la page racine carrée ou la calculatrice formelle de dCode.

L'opérateur d'exponentiation a 3 identités mathématiques principales :

$$ a^{b + c} = a^b \cdot a^c \\ (a^b)^n = a^{b \cdot n} \\ (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n $$

A noter aussi qu'une puissance paire d'un nombre négatif est toujours positive, et qu'une puissance impaire d'un nombre négatif est toujours négative.