Outil pour calculer ou simplifier une racine carrée. La racine carrée d'un nombre N est le nombre noté sqrt(N) ou racine(N) qui, multiplié par lui-même, vaut N.
Racine Carrée - dCode
Catégorie(s) : Calcul Formel, Fonctions
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Une racine carrée de $ x $ (ou radical de $ x $) est un concept mathématique noté $ \sqrt{x} $ (ou sqrt(x)) qui fait référence au nombre qui, multiplié par lui-même, produit le nombre $ x $.
Exemple : La racine carrée de $ 9 $ est $ 3 $ ce qui s'écrit $ \sqrt{9} = 3 $, car $ 3 \times 3 = 9 $
La fonction racine carrée, notée √ renvoie toujours la racine principale (positive). Mathématiquement, l'équation $ y^2 = x $ possède deux solutions pour $ x $, une positive et une négative, donc $ x = \pm \sqrt{y} $
Il existe plusieurs méthodes pour calculer une racine carrée.
— Par encadrement à la main : la méthode classique est d'estimer la valeur en calculant quels entiers mis au carré donneraient un intervalle minimal.
Exemple : Encadrement de $ \sqrt{8} $ : $ 2^2 = 4 < 8 < 9 = 3^3 $ donc $ 2 < \sqrt{8} < 3 $, il est ensuite possible d'encadrer le premier chiffre après la virgule : $ 2.8^2 < 8 < 2.9^2 $ etc.
— Par extraction des carrés : si le nombre sous la racine se factorise avec des carrés, alors il est possible de les sortir de la racine.
Exemple : Factorisation de $ \sqrt{8} = \sqrt{ 4 \times 2 } = \sqrt{ 2^2 \times 2 } = 2 \sqrt{2} $. Puisque $ \sqrt{2} \approx 1.414 $, alors $ \sqrt{8} \approx 2.828 $
— Avec une calculatrice de racine carrée comme celle de dCode :
Entrer un nombre positif ou négatif (dans ce cas, il possède des racines complexes).
Choisir le format du résultat, soit une valeur exacte (si il s'agit d'entier ou de variables) ou approximative (nombre à virgule avec une précision ajustable en définissant un nombre de chiffres significatif minimum)
Exemple : $ \sqrt{12} = 2 \sqrt{3} \approx 3.464 $
Exemple : $ \sqrt{-1} = i $ (racine complexe)
Pour tout nombre réel $ a \in \mathbb{R} $
$$ \sqrt{a^2} = |a| $$
Pour tout nombre réel positif $ a \in \mathbb{R}_+ $
$$ \sqrt{a^2} = a \\ \left( \sqrt{a} \right)^2 = a $$
Pour tout nombre $ b $
$$ \sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \\ \sqrt{ \frac{a}{b} } = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \qquad (b \neq 0) \\ \sqrt{a^2 \times b} = |a| \sqrt{b} $$
La racine carrée d'un carré parfait est un nombre entier.
La simplification d'une racine carré passe généralement par la factorisation de la composante sous la racine par un ou plusieur carrés.
Exemple : $ \sqrt{20} = \sqrt{ 2^2 \times 5 } = \sqrt{ 2^2 } \times \sqrt{ 5 } = 2 \sqrt{ 5 } $
Utiliser la décomposition en facteurs premiers si besoin
Si le dénominateur est un radical, alors multiplier le numérateur et le dénominateur par celui-ci pour la faire disparaitre.
$$\frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{\sqrt{b}^2} = \frac{a\sqrt{b}}{b} $$
Si le dénominateur est une addition ou soustraction de racines, alors appliquer l'identité remarquable : $ (a+b)(a-b) = a^2-b^2 $
$$ \frac{a}{\sqrt{b}+\sqrt{c}} = \frac{a(\sqrt{b}-\sqrt{c})}{(\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{b}-\sqrt{c})} = \frac{a\sqrt{b}-a\sqrt{c}}{b-c} $$
$$ \frac{a}{\sqrt{b}-\sqrt{c}} = \frac{a(\sqrt{b}+\sqrt{c})}{(\sqrt{b}-\sqrt{c})(\sqrt{b}+\sqrt{c})} = \frac{a\sqrt{b}+a\sqrt{c}}{b-c} $$
Les racines carrées sont nécessaires dans de nombreux domaines des mathématiques.
Exemple : En algèbre : dans les calculs algébriques, les racines permettent de résoudre les équations polynomiales de type $ x^2 + 2x + 1 = 0 $
Exemple : En géométrie : dans les calculs de longueur ou de normes de vecteurs, les racines permettent de trouver les solutions du théorème de Pythagore $ a^2 + b^2 = c^2 $
Le mot sqrt est généralement utilisé dans les formule pour indiquer une racine carré, ce mot vient de la contraction du mot anglais square root.
Exemple : sqrt(2) = racine(2) = $ \sqrt{2} $
Un carré parfait est le carré d'un nombre entier.
Exemple : $ 3 $ est un entier, $ 3^2 = 3 \times 3 = 9 $ alors $ 9 $ est un carré parfait.
Si la racine carré d'un nombre $ x $ est un entier alors $ x $ est un carré parfait.
La racine carrée d'un nombre négatif n'est pas un nombre réel. Elle appartient aux nombres complexes et s'écrit sous la forme $ i \sqrt{|a|} $, où $ i $ est l'unité imaginaire, définie par $ i^2 = -1 $.
La racine carrée de zéro est zéro, car $ 0 \times 0 = 0 $
La racine carrée de un est un, car $ 1 \times 1 = 1 $
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Citer comme source bibliographique :
Racine Carrée sur dCode.fr [site web en ligne], consulté le 03/12/2024,