Norme d'un Vecteur

La norme d'un vecteur est une fonction qui associe à chaque vecteur sa longueur, c'est-à-dire un nombre réel positif ou nul. Cette norme est appelée norme euclidienne ou norme quadratique, ou norme L².

Dans un espace de dimension $ n $, si $ A $ et $ B $ sont deux points, la norme du vecteur $ \overrightarrow{AB} $, notée $ \|\overrightarrow{AB}\| $, correspond à la distance entre $ A $ et $ B $ (la longueur du segment $ [AB] $).

En dimension 1, la norme se réduit à la valeur absolue du nombre réel.

Dans un espace vectoriel euclidien de dimension $ n $, la norme d'un vecteur $ \vec{v} = (x_1, x_2, \dots, x_n) $ se calcule par la racine carrée de la somme des carrés de ses composantes :

$$ \| \vec{v} \| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2} $$

Elle peut également se calculer à partir du produit scalaire du vecteur avec lui-même : $$ \| \vec{v} \| = \sqrt{ \vec{v} \cdot \vec{v} } $$

Normaliser un vecteur consiste à construire un vecteur unitaire (de norme 1) ayant la même direction que le vecteur initial.

Pour un vecteur $ \vec{v} $, la normalisation s'effectue en divisant le vecteur par sa norme :

$$ \vec{u} = \frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|} $$

Cette opération n'est possible que si le vecteur n'est pas nul : $ \vec{v} \neq \vec{0} $

Dans le plan 2D, pour un vecteur $ \vec{v} = (x,y) $ la formule se simplifie $$ \|\vec{v}\|= \sqrt{x^2+y^2} $$

Dans l'espace 3D, pour un vecteur $ \vec{u} = (x,y,z) $ la formule se simplifie $$ \|{\vec{u}}\|= \sqrt{x^2+y^2+z^2} $$

Géométriquement, cette norme correspond à la distance du point avec l'origine $ (0,0,0) $

A partir des coordonnées des points $ A (x_A,y_A) $ et $ B (x_B,y_B) $ du vecteur $ \overrightarrow{AB} $, les composantes du vecteur sont $ {\overrightarrow {AB}} = \{ (x_B-x_A), (y_B-y_A) \} $ et donc la norme est $ \|\overrightarrow {AB}\| = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2} $

Cela se généralise en dimension $ n $, les composantes sont $$ \overrightarrow{AB} = (x_{B1} - x_{A1}, \; x_{B2} - x_{A2}, \; \dots, \; x_{Bn} - x_{An}) $$ et la norme $$ \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_{B1} - x_{A1})^2 + (x_{B2} - x_{A2})^2 + \cdots + (x_{Bn} - x_{An})^2} $$

Un vecteur unitaire est un vecteur de norme égale à 1 : $ \| \vec{v} \| = 1 $