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Norme d'un Vecteur

Outil pour calculer la norme d'un vecteur. La norme d'un vecteur d'un espace vectoriel représente la longueur (ou la distance) du vecteur.

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Norme d'un Vecteur -

Catégorie(s) : Matrice

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Norme d'un Vecteur

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Calculatrice de Norme de Vecteur

Vecteur 2D du Plan



Vecteur 3D de l'Espace




Vecteur d'ordre N (à N dimensions)

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Voir aussi : Calcul Matriciel

Réponses aux Questions (FAQ)

Quelle est la définition d'une norme d'un vecteur ?

La norme d'un vecteur est sa longueur. Si $ A $ et $ B $ sont deux points (d'un espace de dimension $ n $) alors la norme du vecteur, notée avec une double barre $ \|\overrightarrow{AB}\| $ est la distance entre $ A $ et $ B $ (la longueur du segment $ [AB] $).

La valeur absolue est le cas particulier de norme pour un nombre réel (une seule dimension).

Comment calculer la norme d'un vecteur ?

Dans un espace vectoriel de dimension $ n $, un vecteur $ \vec(v) $ de composantes $ x_i $ : $ \vec(v) = (x_1, x_2, ..., x_n) $ se calcule par la formule : $$ \left\|\vec{v}\right\| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \cdots +x_n^2} $$

La norme d'un vecteur peut également se calculer à partir du produit scalaire du vecteur avec lui-même : $ \| \vec{v} \| = \sqrt{ \vec{v} \cdot \vec{v} } $

Dans le plan, pour un vecteur $ \vec(v) = (x,y) $ la formule se simplifie $ \|\vec{v}\|= \sqrt{x^2+y^2} $

Exemple : $ \vec(v) = \left( \begin{array}{c} 1 \ 2 \end{array} \right) $ donc $ \|\vec(v)\| = \sqrt{1^2+2^2} = \sqrt{5} $

Dans l'espace, pour un vecteur $ \vec(v) = (x,y,z) $ la formule se simplifie $ \|{\vec {v}}\|= \sqrt{x^2+y^2+z^2} $

Comment calculer les composantes d'un vecteur à partir des points ?

A partir des coordonnées des points $ A (x_A,y_A) $ et $ B (x_B,y_B) $ du vecteur $ \overrightarrow{AB} $, les composantes du vecteurs sont $ {\overrightarrow {AB}} = (x_B-x_A), (y_B-y_A) $ et donc la norme est $ \|\overrightarrow {AB}\| = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2} $

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