Outil pour multiplier des nombres entiers de tres grande taille (milliers ou millions de chiffres). Multiplication avec resultat exact, sans arrondi et sans limite de taille comme sur les calculatrices standards.
Multiplication - dCode
Catégorie(s) : Arithmétique
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Multiplication
Multiplication de 2 nombres
Multiplier plusieurs nombres
Calcul avec Multiplication
Réponses aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce qu'une multiplication ? (Définition)
La multiplication est une opération mathématique fondamentale qui associe deux nombres à un troisième appelé produit.
Pour les entiers naturels, elle peut être comprise comme une répétition d'addition : multiplier, c'est additionner plusieurs fois le même nombre.
Exemple : $ 3 \times 4 $ (qui se lit 3 fois 4) signifie trois copies du nombre $ 4 $, soit $ 4 + 4 + 4 = 12 $. Le même résultat serait obtenu avec $ 4 \times 3 $ car la multiplication est commutative : $ 3 \times 4 = 4 \times 3 $
Quel est le problème lié à la multiplication de très grands nombres ?
Toute multiplication de nombres très grand ou très long, dépassant le million ou le milliard génère souvent des erreurs sur les calculatrices standard.
Le principal problème vient de la façon dont les calculatrice et ordinateurs représentent les nombres en mémoire.
— Limite de représentation : les entiers usuels ont une taille fixe en bits. Sur une architecture 32 bits, un entier non signé est borné par $ 2^{32}-1 = 4294967295 $, tandis qu'un entier signé est borné par $ 2147483647 $. Au-delà, il y a un overflow (dépassement de capacité), qui peut produire un résultat incorrect.
— Limite d'affichage : même si le calcul était correct, certaines calculatrices ou logiciels tronquent l'affichage au-delà d'un certain nombre de chiffres.
— Coût du calcul : plus les nombres sont grands, plus le temps et la mémoire nécessaires pour les multiplier augmentent.
Comment calculer une multiplication avec de très grands nombres ?
Pour multiplier des nombres comportant des milliers (voire des millions) de chiffres, l'utilisateur doit utiliser des outils d'arithmétique à précision arbitraire.
Ces outils ne stockent pas les nombres dans un format fixe (32 ou 64 bits), mais comme des listes de chiffres, et appliquent des algorithmes spécialisés (multiplication classique, Karatsuba, ou méthodes basées sur la transformée de Fourier).
Cela permet d'obtenir un résultat exact, sans arrondi et sans recourir à la notation scientifique, même pour des très grands entiers.
Exemple : $ 5000000 \times 1000000000 = 5000000000000000 $ (5 millions multiplié par 1 milliard)
Quelles sont les tables de multiplication ?
Les tables de multiplication sont un tableau organisé qui récapitule les produits des nombres entiers usuels, généralement de $ 1 $ à $ 10 $.
Traditionnellement les tables de multiplication réfèrent à ce tableau :
| \ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 2 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 |
| 3 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 | 30 |
| 4 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 | 40 |
| 5 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 |
| 6 | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | 42 | 48 | 54 | 60 |
| 7 | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 | 56 | 63 | 70 |
| 8 | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 64 | 72 | 80 |
| 9 | 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 | 90 |
| 10 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 |
Qu'est ce que l'algorithme de Karatsuba ?
L'algorithme de Karatsuba est une technique de multiplication rapide pour de grands nombres. Pour gagner du temps de calcul en informatique, la multiplication est accélérée en la décomposant :
ab * cd = (a * 10^k + b) * (c * 10^k + d) = ac * 10^2k + (ad + bc) * 10^k + bd
Cette multiplication nécessite les 4 valeurs ac, ad, bc et bd. Or :
(a * 10^k + b) * (c * 10^k + d) = ac * 10^2k + (ac + bd - (a - b)(c - d)) * 10^k + bd
La même multiplication nécessite 3 valeurs : ac, bd et (a - b)(c - d).
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