Inverse d'une Matrice

L'inverse d'une matrice carrée se calcule de plusieurs façons. La plus facile est la méthode des cofacteurs qui nécessite au préalable de calculer le déterminant de la matrice, mais aussi la comatrice C (qui est la transposée de la matrice des cofacteurs) :

$$ M^{-1}=\frac1{\det M} \,^{\operatorname t}\!{{\rm com} M} = \frac1{\det M} \,^{\rm t}\!C $$

Pour une matrice 2x2 :

$$ M^{-1} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{\det(M)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \\ \end{bmatrix} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \\ \end{bmatrix} $$

Exemple : $$ M = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix} \Rightarrow M^{-1} = \frac{1}{\det(M)} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \\ \end{bmatrix} = -\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \\ \end{bmatrix} $$

Il est indispensable que le déterminant de la matrice a inverser ne soit pas nul pour que la matrice soit inversible.

Une matrice est inversible si son déterminant est non nul (différent de 0).

Une matrice non inversible est dite singulière.

La multiplication de la matrice par son inverse doit donner la matrice identité. Soit le calcul de $ M . M^{-1} = I $.

Le principe est identique, mais au lien de calculer le déterminant, calculer l'inverse modulaire du déterminant de la matrice.