Inverse d'une Matrice

L'inverse d'une matrice carrée $ M $ est noté $ M^{-1} $ et se calcule de plusieurs façons. La plus adaptée pour les matrices de taille 2x2 ou 3x3 est la méthode des cofacteurs qui nécessite au préalable de calculer le déterminant de la matrice $ \det M $ ainsi que la transposée de la matrice des cofacteurs (aussi appelée matrice complémentaire $ \operatorname{comp}(M) $) :

$$ M^{-1} = \frac{1}{\det M} \left( \operatorname{cof}(M) \right)^\mathsf{T} = \frac{1}{\det M} \operatorname{comp}(M) $$

Le calculateur de dCode fonctionne pour toute taille de matrice carrée.

Pour une matrice d'ordre 2 (2x2) :

$$ M = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix} \\ \det(M) = ad - bc \\ \operatorname{cof}(M) = \begin{bmatrix} d & -c \\ -b & a \end{bmatrix} \\ \operatorname{comp}(M) = \left( \operatorname{cof}(M) \right)^\mathsf{T} = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} \\ M^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \\ \end{bmatrix} $$

Exemple : $$ M = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix} \Rightarrow M^{-1} = \frac{1}{\det(M)} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \\ \end{bmatrix} = -\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \\ \end{bmatrix} $$

Pour une matrice d'ordre 3 (3x3) :

$$ M^{-1} = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}^{-1} = \left( \begin{bmatrix} \frac{e i-f h}{-c e g+b f g+c d h-a f h-b d i+a e i} & \frac{c h-b i}{-c e g+b f g+c d h-a f h-b d i+a e i} & \frac{b f-c e}{-c e g+b f g+c d h-a f h-b d i+a e i} \\ \frac{f g-d i}{-c e g+b f g+c d h-a f h-b d i+a e i} & \frac{a i-c g}{-c e g+b f g+c d h-a f h-b d i+a e i} & \frac{c d-a f}{-c e g+b f g+c d h-a f h-b d i+a e i} \\ \frac{d h-e g}{-c e g+b f g+c d h-a f h-b d i+a e i} & \frac{b g-a h}{-c e g+b f g+c d h-a f h-b d i+a e i} & \frac{a e-b d}{-c e g+b f g+c d h-a f h-b d i+a e i} \end{bmatrix} \right) $$

Il est indispensable que le déterminant de la matrice a inverser ne soit pas nul pour que la matrice soit inversible.

Une matrice est inversible si son déterminant est non nul (différent de 0). Donc pour prouver qu'une matrice possède un inverse, calculer le déterminant de la matrice, si il est différent de 0, alors la matrice est inversible.

Une matrice non inversible est dite singulière (l'inversion n'est pas possible).

Eviter le terme inversable qui n'est pas adéquat.

Une matrice avec un déterminant égal à 0 n'est pas inversible. Elle n'a pas d'inverse, il n'est pas possible de calculer son inverse.

La multiplication de la matrice par son inverse doit donner la matrice identité. Soit le calcul de $ M . M^{-1} = I $.

Le principe est identique, mais au lieu de calculer le déterminant, calculer l'inverse modulaire du déterminant de la matrice.