Matrice Complémentaire

Pour calculer la Matrice Complémentaire \( {\rm Comp} \) de la matrice carrée \( M \), il faut calculer \( ^{\operatorname t}{\rm Cof} \) : la transposée de la comatrice (matrice des cofacteurs) de \( M \).

$$ {\rm Comp}=^{\operatorname t}{\rm Cof} $$

Pour calculer la comatrice \( {\rm Cof}(M) \), calculer, pour chaque élément de la matrice \( M \) en position \( (i,j) \), le déterminant de la sous-matrice \( SM \) associée (aussi appelé mineur) et multipler par un facteur \( -1 \) selon la position dans la matrice.

$$ {\rm Cof}_{i,j} = (-1)^{i+j}\text{Det}(SM_i) $$

Pour obtenir la matrice complémentaire, il suffit ensuite de prendre la transposée de la comatrice calculée.

Formule pour une matrice 2x2 :

$$ M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} $$

$$ {\rm Cof}(M) = \begin{pmatrix} {{d}} & {{-c}} \\ {{-b}} & {{a}} \end{pmatrix} $$

$$ {\rm Comp}(M) = \begin{pmatrix} {{d}} & {{-b}} \\ {{-c}} & {{a}} \end{pmatrix} $$

Exemple : $$ M = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow {\rm Cof}(M) = \begin{pmatrix} {{1}} & {{-2}} \\ {{-3}} & {{4}} \end{pmatrix} \Rightarrow {\rm Comp}(M) = \begin{pmatrix} {{1}} & {{-3}} \\ {{-2}} & {{4}} \end{pmatrix} $$

Formule pour une matrice 3x3 :

$$ M = \begin{pmatrix} a & b & c \\d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} $$

$$ {\rm Cof}(M) = \begin{pmatrix} +\begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} d & e \\ g & h \end{vmatrix} \\ & & \\ -\begin{vmatrix} b & c \\ h & i \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a & c \\ g & i \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a & b \\ g & h \end{vmatrix} \\ & & \\ +\begin{vmatrix} b & c \\ e & f \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a & c \\ d & f \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a & b \\ d & e \end{vmatrix} \end{pmatrix} $$

$$ {\rm Comp}(M) = \begin{pmatrix} +\begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} b & c \\ h & i \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} b & c \\ e & f \end{vmatrix} \\ & & \\ -\begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a & c \\ g & i \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a & c \\ d & f \end{vmatrix} \\ & & \\ +\begin{vmatrix} d & e \\ g & h \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a & b \\ g & h \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a & b \\ d & e \end{vmatrix} \end{pmatrix} $$

La matrice complémentaire est la transposée de la comatrice.