Outil pour calculer la Matrice Complémentaire d'une matrice carrée. Matrice Complémentaire est le nom donné à la transposée de la comatrice, matrice des cofacteurs.
Matrice Complémentaire - dCode
Catégorie(s) : Matrice
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Matrice Complémentaire
Calculatrice de Matrice Complémentaire (NxN)
Réponses aux Questions (FAQ)
Qu'est ce qu'une Matrice Complémentaire ? (Définition)
Une matrice carrée $ M $ a pour matrice complémentaire $ \operatorname{Comp}(M) = ^{\operatorname{t}}\operatorname{Cof}(M) $ soit la transposée de la comatrice (matrice des cofacteurs) de $ M $.
Comment calculer la Matrice Complémentaire ?
La Matrice Complémentaire $ \operatorname{Comp} $ de la matrice carrée $ M $ se calcule $ ^{\operatorname t}\operatorname{Cof} $ : la transposée de la comatrice (matrice des cofacteurs) de $ M $.
Pour calculer la comatrice $ \operatorname{Cof}(M) $, calculer, pour chaque élément de la matrice $ M $ en position $ (i,j) $, le déterminant de la sous-matrice $ SM $ associée (aussi appelé mineur) et multiplier par un facteur $ -1 $ selon la position dans la matrice.
$$ \operatorname{Cof}_{i,j} = (-1)^{i+j}\operatorname{Det}(SM_i) $$
Pour obtenir la matrice complémentaire, prendre la matrice transposée de la comatrice calculée.
Formule pour une matrice 2x2 :
$$ M = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} $$
$$ \operatorname{Cof}(M) = \begin{bmatrix} {{d}} & {{-c}} \\ {{-b}} & {{a}} \end{bmatrix} $$
$$ \operatorname{Comp}(M) = \begin{bmatrix} {{d}} & {{-b}} \\ {{-c}} & {{a}} \end{bmatrix} $$
Exemple : $$ M = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \Rightarrow \operatorname{Cof}(M) = \begin{bmatrix} {{1}} & {{-2}} \\ {{-3}} & {{4}} \end{bmatrix} \Rightarrow \operatorname{Comp}(M) = \begin{bmatrix} {{1}} & {{-3}} \\ {{-2}} & {{4}} \end{bmatrix} $$
Formule pour une matrice 3x3 :
$$ M = \begin{bmatrix} a & b & c \\d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} $$
$$ \operatorname{Cof}(M) = \begin{bmatrix} +\begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} d & e \\ g & h \end{vmatrix} \\ & & \\ -\begin{vmatrix} b & c \\ h & i \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a & c \\ g & i \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a & b \\ g & h \end{vmatrix} \\ & & \\ +\begin{vmatrix} b & c \\ e & f \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a & c \\ d & f \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a & b \\ d & e \end{vmatrix} \end{bmatrix} $$
$$ \operatorname{Comp}(M) = \begin{bmatrix} +\begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} b & c \\ h & i \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} b & c \\ e & f \end{vmatrix} \\ & & \\ -\begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a & c \\ g & i \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a & c \\ d & f \end{vmatrix} \\ & & \\ +\begin{vmatrix} d & e \\ g & h \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a & b \\ g & h \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a & b \\ d & e \end{vmatrix} \end{bmatrix} $$
Quelle est la différence entre la comatrice et la matrice complémentaire ?
La matrice complémentaire est la transposée de la comatrice.
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