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Produit Matriciel

Outil pour calculer des produits matriciels en calcul formel. Le produit matriciel consiste en la multiplication de matrices.

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Catégorie(s) : Matrice

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Produit de 2 Matrices



Produit d'une Matrice par un Scalaire (Nombre)



Produit d'une Matrice Ligne par une Matrice Colonne



Outil pour calculer des produits matriciels en calcul formel. Le produit matriciel consiste en la multiplication de matrices.

Réponses aux Questions

Comment multiplier 2 matrices ? (Produit matriciel)

Soient \( M_1=[a_{ij}] \) une matrice de \( m \) lignes et \( n \) colonnes et \( M_2=[b_{ij}] \) une matrice de \( n \) lignes et \( p \) colonnes. Le produit matriciel \( M_1.M_2 = [c_{ij}] \) est une matrice de \( m \) lignes et \( p \) colonnes, avec : $$ \forall i, j : c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj} $$

Exemple : $$ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \times 1 + 2 \times 0 & 1 \times 0 + 2 \times 1 \\ 3 \times 1 + 4 \times 0 & 3 \times 0 + 4 \times 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} $$

L'ordre des opérandes a une importance en calcul matriciel, ainsi $$ M_1.M_2 \neq M_2.M_1 $$

Comment multiplier une matrice par un scalaire ?

Le produit d'une matrice \( M=[a_{ij}] \) par un scalaire \( \lambda \) est une matrice de même taille que la matrice initiale M, avec chaque élément de la matrice multiplié par \( \lambda \). $$ \lambda M = [ \lambda a_{ij} ] $$

Quelles sont les propriétés de la multiplication de matrices ?

Associativité : $$ A \times (B \times C) = (A \times B) \times C $$

Distributivité (par rapport à l'opération d'addition) : $$ A \times (B + C) = A \times B + A \times C $$

$$ (A + B) \times C = A \times C + B \times C $$

$$ \lambda (A \times B) = (\lambda A) \times B = A \times (\lambda B) $$

Comment multiplier 2 matrices de tailles incompatibles ?

Il existe un produit matriciel compatible avec n'importe quelles tailles de matrice : le produit de Kronecker.

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Questions / Commentaires


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