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Produit Matriciel

Outil pour calculer des produits matriciels en calcul formel. Le produit matriciel consiste en la multiplication de matrices (carrées ou rectangulaires).

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Produit Matriciel -

Catégorie(s) : Matrice

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Produit de 2 Matrices


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Produit d'une Matrice par un Scalaire (Nombre)



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Voir aussi : Calcul Matriciel

Produit d'une Matrice Ligne par une Matrice Colonne


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Outil pour calculer des produits matriciels en calcul formel. Le produit matriciel consiste en la multiplication de matrices (carrées ou rectangulaires).

Réponses aux Questions

Comment multiplier 2 matrices ? (Produit matriciel)

$ M_1=[a_{ij}] $ est une matrice de $ m $ lignes et $ n $ colonnes et $ M_2=[b_{ij}] $ est une matrice de $ n $ lignes et $ p $ colonnes (2x2,2x3,3x2,3x3,etc.). Le produit matriciel $ M_1.M_2 = [c_{ij}] $ est une matrice de $ m $ lignes et $ p $ colonnes, avec : $$ \forall i, j : c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj} $$

Exemple : $$ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \times 1 + 2 \times 0 & 1 \times 0 + 2 \times 1 \\ 3 \times 1 + 4 \times 0 & 3 \times 0 + 4 \times 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} $$

L'ordre des opérandes a une importance en calcul matriciel, ainsi $$ M_1.M_2 \neq M_2.M_1 $$

Comment multiplier une matrice par un scalaire ?

Le produit d'une matrice $ M=[a_{ij}] $ par un scalaire (nombre) $ \lambda $ est une matrice de même taille que la matrice initiale $ M $, avec chaque élément de la matrice multiplié par $ \lambda $.

$$ \lambda M = [ \lambda a_{ij} ] $$

Quelles sont les propriétés de la multiplication de matrices ?

Associativité : $$ A \times (B \times C) = (A \times B) \times C $$

Distributivité (par rapport à l'opération d'addition) : $$ A \times (B + C) = A \times B + A \times C $$

$$ (A + B) \times C = A \times C + B \times C $$

$$ \lambda (A \times B) = (\lambda A) \times B = A \times (\lambda B) $$

Comment multiplier 2 matrices de tailles incompatibles ?

Il existe un produit matriciel compatible avec n'importe quelles tailles de matrice : le produit de Kronecker.

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