Déterminant d'une Matrice

Pour une matrice carrée d'ordre 2 (2x2), effectuer le calcul :

$$ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc $$

Un moyen mnémotechnique est de soustraire la première diagonale à la seconde.

Exemple : $$ \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 1 \times 4 - 2 \times 3 = -2 $$

Pour les matrices de taille supérieure comme 3x3, le déterminant d'ordre 3 se calcule :

$$ \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = a \begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} - b \begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix} + c \begin{vmatrix} d & e \\ g & h \end{vmatrix} \\ = aei-afh+bfg-bdi+cdh-ceg $$

Les sous-matrices calculées sont appelées des mineurs de la matrice originale.

L'idée est la même pour les matrices d'ordre supérieur :

Pour une matrice 4x4, le déterminant d'ordre 4 est:

$$ \begin{vmatrix} a & b & c & d \\ e & f & g & h \\ i & j & k & l \\ m & n & o & p \end{vmatrix} = a \begin{vmatrix} f & g & h \\ j & k & l \\ n & o & p \end{vmatrix} - b \begin{vmatrix} e & g & h \\ i & k & l \\ m & o & p \end{vmatrix} + c \begin{vmatrix} e & f & h \\ i & j & l \\ m & n & p \end{vmatrix} - d \begin{vmatrix} e & f & g \\ i & j & k \\ m & n & o \end{vmatrix} \\ = \\ a(fkp − flo − gjp + gln + hjo − hkn) − b(ekp − elo − gip + glm + hio − hkm) + c(ejp − eln − fip + flm + hin − hjm) − d(ejo − ekn − fio + fkm + gin − gjm) \\ = \\ afkp − aflo − agjp + agln + ahjo − ahkn − bekp + belo + bgip − bglm − bhio + bhkm + cejp − celn − cfip + cflm + chin − chjm − dejo + dekn + dfio − dfkm − dgin + dgjm $$

Le déterminant d'une matrice non carrée n'est pas défini, il n'existe pas selon la définition du déterminant.

Il n'existe pas de formule autre que l'explication ci-dessus pour le cas général d'une matrice d'ordre n.

Pour une matrice 1x1, le déterminant est le seul élément de la matrice.

Exemple : $$ | 1 | = 1 $$

Une matrice identité a pour déterminant 1.

Exemple : $$ \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \times 1 - 0 \times 0 $$

Exemple : $$ \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = ( 1 \times 1 \times 1) - (1 \times 0 \times 0) + (0 \times 0 \times 0) - (0 \times 0 \times 1) + (0 \times 0 \times 0) - (0 \times 1 \times 0) = 1 $$

Seul le terme correspond à la multiplication de la diagonale vaudra 1 et les autres termes seront nuls.

Le déterminant d'une matrice $ M $ est le produit de ses valeurs propres (valeurs complexes et éventuelle multiplicité comprises).