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Vecteurs Propres d'une Matrice

Outil de calcul des vecteurs propres d'une matrice. Les vecteurs propres d'une matrice sont les vecteurs dont la direction reste inchangée après multiplication par la matrice. Ils sont associés aux à une valeur propre.

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Vecteurs Propres d'une Matrice -

Catégorie(s) : Matrice

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Vecteurs Propres d'une Matrice

Calculatrice de Vecteurs Propres

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Calculatrice de Valeurs Propres

Calculatrice d'Espaces Propres

Réponses aux Questions (FAQ)

Qu'est-ce que sont les vecteurs propres d'une matrice ? (Définition)

Un vecteur propre d'une matrice est un vecteur caractéristique (ou axe ou direction privilégiée) sur lequel une transformation linéaire se comporte comme une multiplication scalaire par une constante nommée valeur propre.

En d'autres termes, ce sont les vecteurs qui ne changent que d'une échelle lorsqu'ils sont multipliés par la matrice.

L'ensemble des vecteurs propres forment un espace propre.

Comment calculer les vecteurs propres d'une matrice ?

Pour trouver/déterminer des vecteurs propres, prendre $ M $ une matrice carré d'ordre $ n $ et $ \lambda_i $ ses valeurs propres.

Les vecteurs propres sont les solutions du système $ ( M − \lambda I_n ) \vec{X} = \vec{0} $ avec $ I_n $ la matrice identité.

Exemple : Soit la matrice 2x2 $$ M=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} $$
Les valeurs propres de la matrice $ M $ sont $ \lambda_1 = 5 $ et $ \lambda_2 = -1 $ (voir la page de calcul des valeurs propres d'une matrice).

Pour chaque valeur propre, rechercher le vecteur propre associé.

Exemple : Pour $ \lambda_1 = 5 $, résoudre $ ( M − 5 I_n ) X = \vec{0} $ soit : $$ \begin{bmatrix} 1-5 & 2 \\ 4 & 3-5 \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} $$ soit le système d'équation équivalent $$ \begin{align} -4 x_1 + 2 x_2 &= 0 \\ 4 x_1 - 2 x_2 &= 0 \end{align} $$ qui admet plusieurs solutions dont $$ \begin{array}{c} x_1 = 1 \\ x_2 = 2 \end{array} $$ Donc le vecteur propre associé à $ \lambda_1 = 5 $ est $ \vec{v_1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} $

Exemple : Pour $ \lambda_2 = -1 $, résoudre $ ( M + I_n ) X = \vec{0} $ soit : $$ \begin{bmatrix} 1+1 & 2 \\ 4 & 3+1 \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \\ \iff \begin{align} 2 x_1 + 2 x_2 &= 0 \\ 4 x_1 + 4 x_2 &= 0 \end{align} \Rightarrow \begin{array}{c} x_1 = -1 \\ x_2 = 1 \end{array} $$ Donc le vecteur propre associé à $ \lambda_2 = -1 $ est $ \vec{v_2} = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} $

Pourquoi utiliser les vecteurs propres d'une matrice ?

Les vecteurs propres permettent de simplifier certains calculs, de comprendre les transformations linéaires induites par la matrice et de résoudre des problèmes liés aux valeurs propres.

Comment montrer qu'une matrice est diagonalisable ?

Une matrice $ M $ d'ordre $ n $ est une matrice diagonalisable si elle possède $ n $ vecteurs propres associés à $ n $ valeurs propres distinctes.

C'est-à-dire qu'elle possède suffisamment de vecteurs propres linéairement indépendants pour former une base de l'espace vectoriel dans lequel elle opère (condition nécessaire à sa diagonalisation).

Est-ce qu'un vecteur propre nul existe ?

La définition du vecteur propre exclut sa nullité. Cependant, si lors d'un calcul, le nombre de vecteurs propres indépendants est inférieur au nombre de valeurs propres, dCode pourra éventuellement afficher un vecteur nul.

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Citer comme source bibliographique :
Vecteurs Propres d'une Matrice sur dCode.fr [site web en ligne], consulté le 25/06/2024, https://www.dcode.fr/vecteurs-propres-matrice

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