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Vecteurs Propres d'une Matrice

Outil de calcul des vecteurs propres d'une matrice. Les vecteurs propres d'une matrice sont les vecteurs dont la direction reste inchangée après multiplication par la matrice. Ils sont associés aux à une valeur propre.

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Vecteurs Propres d'une Matrice -

Catégorie(s) : Mathématiques, Algèbre, Calcul Formel

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Calculatrice de Vecteurs Propres

Outil de calcul des vecteurs propres d'une matrice. Les vecteurs propres d'une matrice sont les vecteurs dont la direction reste inchangée après multiplication par la matrice. Ils sont associés aux à une valeur propre.

Réponses aux Questions

Comment calculer les vecteurs propres d'une matrice ?

Soit \( M \) une matrice carré d'ordre \( n \) et \( \lambda_i \) ses valeurs propres. Les vecteurs propres sont les solutions du systeme \( ( M − \lambda I_n ) \vec{X} = \vec{0} \) avec \( I_n \) la matrice identité.

Exemple : Soit la matrice $$ M=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} $$
Les valeurs propres de la matrice \( M \) sont \( \lambda_1 = 5 \) et \( \lambda_2 = -1 \) (voir la page de calcul des valeurs propres d'une matrice).
Pour chaque valeur propre, on recherche le vecteur propre associé.
Pour \( \lambda_1 = 5 \), on résoud \( ( M − 5 I_n ) X = \vec{0} \) soit : $$ \begin{bmatrix} 1-5 & 2 \\ 4 & 3-5 \end{bmatrix} . \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$
on trouve comme solution $$ \begin{align} -4 x_1 + 2 x_2 &= 0 \\ 4 x_1 - 2 x_2 &= 0 \end{align} \iff \begin{matrix} x_1 = 1 \\ x_2 = 2 \end{matrix} $$
Donc le vecteur propre associé à \( \lambda_1 = 5 \) est \( \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \).
Pour \( \lambda_2 = -1 \), on résoud \( ( M + I_n ) X = \vec{0} \) soit : $$ \begin{bmatrix} 1+1 & 2 \\ 4 & 3+1 \end{bmatrix} . \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \\ \begin{align} 2 x_1 + 2 x_2 &= 0 \\ 4 x_1 + 4 x_2 &= 0 \end{align} \iff \begin{matrix} x_1 = -1 \\ x_2 = 1 \end{matrix} $$
Donc le vecteur propre associé à \( \lambda_1 = -1 \) est \( \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \).

Est-ce qu'un vecteur propre nul existe ?

La définition du vecteur propre exclut sa nullité. Cependant, si lors d'un calcul, le nombre de vecteurs propres indépendants est inférieur au nombre de valeurs propres, dCode affichera un vecteur nul.

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Source : https://www.dcode.fr/vecteurs-propres-matrice
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