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Vecteurs Propres d'une Matrice

Outil de calcul des vecteurs propres d'une matrice. Les vecteurs propres d'une matrice sont les vecteurs dont la direction reste inchangée après multiplication par la matrice. Ils sont associés aux à une valeur propre.

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Vecteurs Propres d'une Matrice -

Catégorie(s) : Matrice

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Vecteurs Propres d'une Matrice

Calculatrice de Vecteurs Propres

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Calculatrice d'Espaces Propres

Réponses aux Questions (FAQ)

Comment calculer les vecteurs propres d'une matrice ?

Pour trouver des vecteurs propres, prendre $ M $ une matrice carré d'ordre $ n $ et $ \lambda_i $ ses valeurs propres. Les vecteurs propres sont les solutions du systeme $ ( M − \lambda I_n ) \vec{X} = \vec{0} $ avec $ I_n $ la matrice identité.

Exemple : Soit la matrice 2x2 $$ M=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} $$
Les valeurs propres de la matrice $ M $ sont $ \lambda_1 = 5 $ et $ \lambda_2 = -1 $ (voir la page de calcul des valeurs propres d'une matrice).

Pour chaque valeur propre, rechercher le vecteur propre associé.

Exemple : Pour $ \lambda_1 = 5 $, résoudre $ ( M − 5 I_n ) X = \vec{0} $ soit : $$ \begin{bmatrix} 1-5 & 2 \\ 4 & 3-5 \end{bmatrix} . \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$
soit comme solution $$ \begin{align} -4 x_1 + 2 x_2 &= 0 \\ 4 x_1 - 2 x_2 &= 0 \end{align} \iff \begin{matrix} x_1 = 1 \\ x_2 = 2 \end{matrix} $$ Donc le vecteur propre associé à $ \lambda_1 = 5 $ est $ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} $

Exemple : Pour $ \lambda_2 = -1 $, résoudre $ ( M + I_n ) X = \vec{0} $ soit : $$ \begin{bmatrix} 1+1 & 2 \\ 4 & 3+1 \end{bmatrix} . \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \\ \begin{align} 2 x_1 + 2 x_2 &= 0 \\ 4 x_1 + 4 x_2 &= 0 \end{align} \iff \begin{matrix} x_1 = -1 \\ x_2 = 1 \end{matrix} $$ Donc le vecteur propre associé à $ \lambda_1 = -1 $ est $ \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} $

Comment montrer qu'une matrice est diagonalisable ?

Une matrice $ M $ matrice d'ordre $ n $ est une matrice diagonalisable si elle possède $ n $ vecteurs propres associés à $ n $ valeurs propres distinctes.

Est-ce qu'un vecteur propre nul existe ?

La définition du vecteur propre exclut sa nullité. Cependant, si lors d'un calcul, le nombre de vecteurs propres indépendants est inférieur au nombre de valeurs propres, dCode pourra éventuellement afficher un vecteur nul.

Code source

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Questions / Commentaires

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Source : https://www.dcode.fr/vecteurs-propres-matrice
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