Matrice des Cofacteurs

La comatrice (matrice des cofacteurs) d'une matrice carré \( M \) est notée \( Cof(M) \). Pour chaque élément de la matrice, on calcule le déterminant de la sous-matrice \( SM \) associée (ce déterminant est noté \( \text{Det}(SM) \) ou \( | SM | \) et est aussi appelé mineur. On multiplie alors le mineur par un facteur \( -1 \) selon la position dans la matrice.

$$ Cof_{i,j} = (-1)^{i+j} \text{Det}(SM_i) $$

Calcul d'une comatrice 2x2 :

$$ M = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} $$

$$ Cof(M) = \begin{bmatrix} d & -c \\ -b & a \end{bmatrix} $$

Exemple : $$ M = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \Rightarrow Cof(M) = \begin{bmatrix} 4 & -3 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} $$

Calcul d'une comatrice 3x3 :

$$ M = \begin{bmatrix} a & b & c \\d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} $$

$$ Cof(M) = \begin{bmatrix} + \begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} d & e \\ g & h \end{vmatrix} \\ & & \\ -\begin{vmatrix} b & c \\ h & i \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a & c \\ g & i \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a & b \\ g & h \end{vmatrix} \\ & & \\ +\begin{vmatrix} b & c \\ e & f \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a & c \\ d & f \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a & b \\ d & e \end{vmatrix} \end{bmatrix} $$

La matrice transposée de la comatrice est appelée matrice complémentaire.

La plupart des propriétés de la matrice des cofacteurs concernent en fait sa transposée, la transposée de la matrice des cofacteurs est appelée matrice complémentaire.

$$ A({}^t{{\rm com} A}) = ({}^t{{\rm com} A})A =\det{A} \times I_n $$

$$ A^{-1}=\frac1{\det A} \, {}^t{{\rm com} A} $$

Un cofacteur se calcule à partir du mineur de la sous-matrice.

$$ Cof_{i,j} = (-1)^{i+j} \text{Det}(SM_i) $$