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Trace d'une Matrice

Outil pour calculer la trace d'une Matrice. La trace d'une matrice M est la somme des coefficients de sa diagonale principale notée Tr(M).

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Trace d'une Matrice -

Catégorie(s) : Matrice

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Trace d'une Matrice

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Calculatrice de la Trace d'une Matrice Carrée NxN

Calculatrice de la Trace d'une Matrice Rectangulaire NxM

Outil pour calculer la trace d'une Matrice. La trace d'une matrice M est la somme des coefficients de sa diagonale principale notée Tr(M).

Réponses aux Questions

Comment calculer la trace d'une matrice ?

Pour calculer la trace d'une matrice carrée \( M \) d'ordre \( n \), on effectue la somme de la diagonale (en partant du coin en haut à gauche) :

$$ \mathrm{Tr}(M) = \sum_{i=1}^{n} a_{i \, i} $$

Avec une matrice 2x2 : $$ M = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \\ \mathrm{Tr}(M) = a+d $$

Exemple : $$ M = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \\ \mathrm{Tr}(M) = 1+4 = 5 $$

Avec une matrice 3x3 : $$ M = \begin{bmatrix} a & b & c \\d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} \\ \mathrm{Tr}(M) = a+e+i $$

Pour une matrice rectangulaire \( M \) de taille \( m \times n \), la diagonale correspond à celle de la matrice carrée incluse (en partant du coin en haut à gauche).

Exemple : $$ M = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \Rightarrow \mathrm{Tr}(M) = \mathrm{Tr} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} $$

Quelles sont les propriétés mathématiques d'une trace ?

La trace respecte les propriétés suivantes :

La trace d'une matrice identité \( I_n \) d'ordre \( n \) vaut \( n \).

$$ \mathrm{Tr}(I_n) = n $$

Soient A et B, deux matrices de même ordre (et donc A+B est calculable par addition matricielle) :

$$ \mathrm{Tr}(A + B) = \mathrm{Tr}(A) + \mathrm{Tr}(B) $$

Pour c un scalaire donné :

$$ \mathrm{Tr}(c A) = c \mathrm{Tr}(A) $$

Pour \( A^T \) la matrice transposée de A :

$$ \mathrm{Tr}(A^T) = \mathrm{Tr}(A) $$

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