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Trace d'une Matrice

Outil pour calculer la trace d'une Matrice. La trace d'une matrice M est la somme des valeurs de sa diagonale principale, et se note Tr(M).

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Trace d'une Matrice -

Catégorie(s) : Matrice

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Trace d'une Matrice

Calculatrice de la Trace d'une Matrice Carrée NxN

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Calculatrice de la Trace d'une Matrice Rectangulaire NxM

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Réponses aux Questions (FAQ)

Qu'est ce que la trace d'une matrice ? (Définition)

La trace d'une matrice est l'addition des valeurs sur sa diagonale principale (en partant du coin en haut à gauche et en se décalant d'une case vers la droite et vers le bas).

$$ \begin{bmatrix} X & . & . \\ . & X & . \\ . & . & X \end{bmatrix} ou \begin{bmatrix} X & . & . \\ . & X & . \end{bmatrix} ou \begin{bmatrix} X & . \\ . & X \\ . & . \end{bmatrix} $$

Comment calculer la trace d'une matrice ?

Pour calculer la trace d'une matrice carrée $ M $ d'ordre $ n $, effectuer la somme de la diagonale (en partant du coin en haut à gauche) :

$$ \mathrm{Tr}(M) = \sum_{i=1}^{n} a_{i \, i} $$

— Avec une matrice 2x2 : $$ M = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \\ \mathrm{Tr}(M) = a+d $$

Exemple : $$ M = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \\ \mathrm{Tr}(M) = 1+4 = 5 $$

— Avec une matrice 3x3 : $$ M = \begin{bmatrix} a & b & c \\d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} \\ \mathrm{Tr}(M) = a+e+i $$

— Pour une matrice rectangulaire $ M $ de taille $ m \times n $, la diagonale correspond à celle de la matrice carrée incluse (en partant du coin en haut à gauche).

Exemple : $$ M = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \Rightarrow \mathrm{Tr}(M) = \mathrm{Tr} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} $$

Comment trouver la trace d'une matrice à partir de ses valeurs propres ?

Calcul à partir des valeurs propres d'une matrice : la trace d'une matrice $ M $ est égales à la somme de ses valeurs propres (y compris valeurs complexes et multiplicité).

NB : Le produit des valeurs propres est le déterminant de la matrice.

Quelles sont les propriétés mathématiques d'une trace ?

La trace respecte les propriétés suivantes :

La trace d'une matrice identité $ I_n $ (d'ordre $ n $) vaut $ n $.

$$ \mathrm{Tr}(I_n) = n $$

Soient A et B, deux matrices de même ordre (et donc A+B est calculable par addition matricielle) :

$$ \mathrm{Tr}(A + B) = \mathrm{Tr}(A) + \mathrm{Tr}(B) $$

Soient A et B, deux matrices de taille compatibles (et donc A.B est une matrice carré par multiplication matricielle) :

$$ \mathrm{Tr}(AB) = \mathrm{Tr}(BA) $$

Pour c un scalaire donné :

$$ \mathrm{Tr}(c A) = c \mathrm{Tr}(A) $$

Pour $ A^T $ la matrice transposée de A :

$$ \mathrm{Tr}(A^T) = \mathrm{Tr}(A) $$

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Source : https://www.dcode.fr/trace-matrice
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