Outil pour diagonaliser une matrice. La diagonalisation de matrice consiste à l'écrire dans une base ou ses éléments hors de la diagonale sont nuls.
Diagonalisation de Matrice - dCode
Catégorie(s) : Matrice
dCode est gratuit et ses outils sont une aide précieuse dans les jeux, les maths, les énigmes, les géocaches, et les problèmes à résoudre au quotidien !
Une suggestion ? un problème ? une idée ? Écrire à dCode !
Diagonalisation de Matrice
Diagonalisation de Matrice
Réponses aux Questions (FAQ)
Qu'est ce qu'une matrice diagonale ? (Définition)
Une matrice diagonale est une matrice dont les éléments hors de la trace (la diagonale principale) sont tous nuls.
Une matrice carré $ M $ est diagonale si $ M_{i,j} = 0 $ pour tout $ i \neq j $.
Exemple : Une matrice diagonale : $$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} $$
La diagonalisation est une transformation utilisée en algèbre linéaire généralement pour simplifier les calculs (comme des puissances de matrices).
Qu'est ce qu'une matrice diagonalisable ? (Définition)
Une matrice est diagonalisable si il existe une matrice inversible $ P $ et une matrice diagonale $ D $ telle que $ M = PDP^{-1} $
Comment diagonaliser une matrice ?
Pour diagonaliser une matrice, une méthode de diagonalisation consiste à calculer ses vecteurs propres et ses valeurs propres.
Exemple : La matrice $$ M = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} $$ a pour valeurs propres $ 3 $ et $ -1 $ avec pour vecteurs propres respectivement $ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} $ et $ \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} $
La matrice diagonale $ D $ est composée des valeurs propres.
Exemple : $$ D = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} $$
L'ordre des valeurs propres dans $ D $ n'a pas d'importance intrinsèque, mais il doit correspondre à l'ordre des vecteurs propres dans $ P $.
La matrice inversible $ P $ est composée des vecteurs propres dans le même ordre de colonnes que les valeurs propres associées.
$ P $ doit être une matrice normalisée.
Exemple : $$ P = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} $$ Normalisation de P : $$ P = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} $$
Comment prouver qu'une matrice n'est pas diagonalisable ?
Une matrice n'est pas diagonalisable si elle n'a pas autant de vecteurs propres distincts qu'elle n'a de dimensions.
Exemple : La matrice de dimension 2 : $$ M = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 0 & 5 \end{bmatrix} $$ a une valeur propre double : $ 5 $ et donc un seul vecteur propre $ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} $ elle n'est donc pas diagonalisable.
Exemple : Une matrice 3x3 avec une valeur propre triple donc un seul vecteur propre n'est pas diagonalisable.
Comment vérifier un calcul de matrice diagonalisée ?
Calculer l'inverse de la matrice $ P $
La diagonalisation doit vérifier $ PDP^{-1} = M $
Qu'est-ce qu'une diagonalisation orthogonale ?
La diagonalisation orthogonale est un type spécifique de diagonalisation de matrice applicable aux matrices symétriques. Elle consiste à exprimer une matrice symétrique $ M $ comme $ M = Q D Q ^ T $ soit le produit d'une matrice orthogonale $ Q $ (donc $ Q.Q^T = Q^T.Q = I $), d'une matrice diagonale $ D $, et de la transposée de $ Q $, notée $ Q^T $.
La diagonalisation orthogonale est utile car elle préserve l'orthogonalité des vecteurs propres et peut simplifier les calculs impliquant des matrices symétriques.
Code source
dCode se réserve la propriété du code source pour "Diagonalisation de Matrice". Tout algorithme pour "Diagonalisation de Matrice", applet ou snippet ou script (convertisseur, solveur, chiffrement / déchiffrement, encodage / décodage, encryptage / décryptage, traducteur) ou toutes fonctions liées à "Diagonalisation de Matrice" (calculer, convertir, résoudre, décrypter / encrypter, déchiffrer / chiffrer, décoder / encoder, traduire) codés en langage informatique (Python, Java, C#, PHP, Javascript, Matlab, etc.) ou toute base de données, ou accès API à "Diagonalisation de Matrice" ou tout autre élément ne sont pas publics (sauf licence open source explicite). Idem avec le téléchargement pour un usage hors ligne sur PC, mobile, tablette, appli iPhone ou Android.
Rappel : dCode est une ressource éducative et pédagogique, accessible en ligne gratuitement et pour tous.
Citation
Le contenu de la page "Diagonalisation de Matrice" ainsi que ses résultats peuvent être copiés et réutilisés librement, y compris à des fins commerciales, à condition de mentionner dCode.fr comme source (Licence de libre diffusion Creative Commons CC-BY).
L'export des résultats est gratuit et se fait simplement en cliquant sur les icônes d'export ⤓ (format .csv ou .txt) ou ⧉ copier-coller.
Pour citer dCode.fr sur un autre site Internet, utiliser le lien :
Dans un article scientifique ou un livre, la citation bibliographique recommandée est : Diagonalisation de Matrice sur dCode.fr [site web en ligne], consulté le 12/07/2025,
- Diagonalisation de Matrice
- Qu'est ce qu'une matrice diagonale ? (Définition)
- Qu'est ce qu'une matrice diagonalisable ? (Définition)
- Comment diagonaliser une matrice ?
- Comment prouver qu'une matrice n'est pas diagonalisable ?
- Comment vérifier un calcul de matrice diagonalisée ?
- Qu'est-ce qu'une diagonalisation orthogonale ?
