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Diagonalisation de Matrice

Outil pour diagonaliser une matrice. La diagonalisation de matrice consiste à l'écrire dans une base ou ses éléments hors de la diagonale sont nuls. Cette transformaiton utilisée en algèbre linéaire afin de pouvoir ensuite réaliser des calculs plus simples.

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Diagonalisation de Matrice -

Catégorie(s) : Matrice

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Outil pour diagonaliser une matrice. La diagonalisation de matrice consiste à l'écrire dans une base ou ses éléments hors de la diagonale sont nuls. Cette transformaiton utilisée en algèbre linéaire afin de pouvoir ensuite réaliser des calculs plus simples.

Réponses aux Questions

Comment diagonaliser une matrice ?

Une matrice diagonale est une matrice dont les éléments hors de la trace (la diagonale principale) sont tous nuls.

Une matrice est diagonalisable si il existe une matrice inversable \( P \) et une matrice diagonale \( D \) telle que \( M=PDP^{-1} \)

Pour diagonaliser une matrice, une méthode consiste à calculer ses vecteurs propres et ses valeurs propres.

Exemple : La matrice $$ M = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} $$ a pour valeurs propres \( 3 \) et \( -1 \) avec pour vecteurs propres respectivement \( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \) et \( \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \)

La matrice diagonale \( D \) est composée des valeurs propres :

Exemple : $$ D = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} $$

La matrice inversable \( P \) est composée des vecteurs propres respectivement dans le même ordre des colonnes.

P doit être une matrice normalisée

Exemple : $$ P = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} $$ Normalisation de P : $$ P = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} $$

Comment prouver qu'une matrice n'est pas diagonalisable ?

Une matrice n'est pas diagonalisable si elle n'a pas autant de vecteurs propres distincts qu'elle n'a de dimensions.

Exemple : La matrice de dimension 2 : $$ M = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 0 & 5 \end{bmatrix} $$ a une valeur propre double : \( 5 \) et donc un seul vecteur propre \( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \) elle n'est donc pas diagonalisable.

Comment vérifier un calcul de matrice diagonalisée ?

Calculer l'inverse de la matrice \( P \)

Vérifier que \( PDP^{-1} = M \)

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