Diagonalisation de Matrice

Une matrice diagonale est une matrice dont les éléments hors de la trace (la diagonale principale) sont tous nuls.

Une matrice est diagonalisable si il existe une matrice inversable \( P \) et une matrice diagonale \( D \) telle que \( M=PDP^{-1} \)

Pour diagonaliser une matrice, une méthode consiste à calculer ses vecteurs propres et ses valeurs propres.

Exemple : La matrice $$ M = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} $$ a pour valeurs propres \( 3 \) et \( -1 \) avec pour vecteurs propres respectivement \( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \) et \( \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \)

La matrice diagonale \( D \) est composée des valeurs propres :

Exemple : $$ D = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} $$

La matrice inversable \( P \) est composée des vecteurs propres respectivement dans le même ordre des colonnes.

P doit être une matrice normalisée

Exemple : $$ P = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} $$ Normalisation de P : $$ P = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} $$

Une matrice n'est pas diagonalisable si elle n'a pas autant de vecteurs propres distincts qu'elle n'a de dimensions.

Exemple : La matrice de dimension 2 : $$ M = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 0 & 5 \end{bmatrix} $$ a une valeur propre double : \( 5 \) et donc un seul vecteur propre \( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \) elle n'est donc pas diagonalisable.

Calculer l'inverse de la matrice \( P \)

Vérifier que \( PDP^{-1} = M \)