Diagonalisation de Matrice

Une matrice diagonale est une matrice dont les éléments hors de la trace (la diagonale principale) sont tous nuls.

Exemple : $$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} $$

Une matrice est diagonalisable si il existe une matrice inversible $ P $ et une matrice diagonale $ D $ telle que $ M=PDP^{-1} $

Pour diagonaliser une matrice, une méthode de diagonalisation consiste à calculer ses vecteurs propres et ses valeurs propres.

Exemple : La matrice $$ M = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} $$ a pour valeurs propres $ 3 $ et $ -1 $ avec pour vecteurs propres respectivement $ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} $ et $ \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} $

La matrice diagonale $ D $ est composée des valeurs propres.

Exemple : $$ D = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} $$

La matrice inversible $ P $ est composée des vecteurs propres dans le même ordre de colonnes que les valeurs propres associées.

$ P $ doit être une matrice normalisée.

Exemple : $$ P = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} $$ Normalisation de P : $$ P = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} $$

Une matrice n'est pas diagonalisable si elle n'a pas autant de vecteurs propres distincts qu'elle n'a de dimensions.

Exemple : La matrice de dimension 2 : $$ M = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 0 & 5 \end{bmatrix} $$ a une valeur propre double : $ 5 $ et donc un seul vecteur propre $ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} $ elle n'est donc pas diagonalisable.

Exemple : Une matrice 3x3 avec une valeur propre triple donc un seul vecteur propre n'est pas diagonalisable.

Calculer l'inverse de la matrice $ P $

Vérifier que $ PDP^{-1} = M $