Outil pour diagonaliser une matrice. La diagonalisation de matrice consiste à l'écrire dans une base ou ses éléments hors de la diagonale sont nuls. Cette transformaiton utilisée en algèbre linéaire afin de pouvoir ensuite réaliser des calculs plus facilement.
Diagonalisation de Matrice - dCode
Catégorie(s) : Matrice
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Outil pour diagonaliser une matrice. La diagonalisation de matrice consiste à l'écrire dans une base ou ses éléments hors de la diagonale sont nuls. Cette transformaiton utilisée en algèbre linéaire afin de pouvoir ensuite réaliser des calculs plus facilement.
Une matrice diagonale est une matrice dont les éléments hors de la trace (la diagonale principale) sont tous nuls.
Exemple : $$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} $$
Une matrice est diagonalisable si il existe une matrice inversible $ P $ et une matrice diagonale $ D $ telle que $ M=PDP^{-1} $
Pour diagonaliser une matrice, une méthode de diagonalisation consiste à calculer ses vecteurs propres et ses valeurs propres.
Exemple : La matrice $$ M = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} $$ a pour valeurs propres $ 3 $ et $ -1 $ avec pour vecteurs propres respectivement $ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} $ et $ \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} $
La matrice diagonale $ D $ est composée des valeurs propres.
Exemple : $$ D = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} $$
La matrice inversible $ P $ est composée des vecteurs propres dans le même ordre de colonnes que les valeurs propres associées.
$ P $ doit être une matrice normalisée.
Exemple : $$ P = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} $$ Normalisation de P : $$ P = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} $$
Une matrice n'est pas diagonalisable si elle n'a pas autant de vecteurs propres distincts qu'elle n'a de dimensions.
Exemple : La matrice de dimension 2 : $$ M = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 0 & 5 \end{bmatrix} $$ a une valeur propre double : $ 5 $ et donc un seul vecteur propre $ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} $ elle n'est donc pas diagonalisable.
Exemple : Une matrice 3x3 avec une valeur propre triple donc un seul vecteur propre n'est pas diagonalisable.
Calculer l'inverse de la matrice $ P $
La diagonalisation doit vérifier $ PDP^{-1} = M $
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