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Transformation de Laplace

Outil pour calculer la transformée de Laplace d'une fonction intégrable sur R, la transformation de Laplace est notée F ou L.

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Transformation de Laplace -

Catégorie(s) : Fonctions

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Transformation de Laplace

Calcul de Transformée de Laplace




Réponses aux Questions (FAQ)

Qu'est ce que la Transformation de Laplace ? (Définition)

La transformation de Laplace est une technique mathématique qui transforme une fonction de temps continu en une fonction de variable complexe. Cette transformation simplifie l'analyse de systèmes linéaires et leurs calculs.

La transformation de Laplace d'une fonction $ f $ est notée $ \mathcal{L} $ (ou parfois $ F $), son résultat s'appelle la transformée de Laplace.

Pour toute fonction $ f(t) $ avec $ t \in \mathbb{R} $, la transformée de Laplace de variable complexe $ s \in \mathbb{C} $ est :

$$ \mathcal{L}(s) = \int_{0^-}^{+\infty}\exp(-pt) f(t) \, dt $$

Parfois la transformée est notée $ \mathcal{L}[f(t)](s) $.

En France (mais aussi en Europe) il arrive que la variable complexe $ s $ soit notée $ p $.

Comment calculer la transformée de Laplace ?

Le calcul de la transformée de Laplace est un calcul d'intégrale (voir définition ci-dessus). La transformation de Laplace présume que les valeurs initiales des fonctions sont nulles

Sur dCode, indiquer la fonction, sa variable (souvent $ t $ ou $ x $), et la variable complexe (souvent $ s $ ou $ p $).

Exemple : $ f(x) = \delta(t) $ et $ \mathcal{L}(s) = 1 $ avec la fonction $ \delta $ de Dirac.

Exemple : $ f(x) = U(t) $ et $ \mathcal{L}(s) = \frac{1}{s^2} $ avec la fonction échelon unité $ U $.

Sur dCode la fonction $ \delta() $ se note dirac() ou deltadirac()
La fonction $ U() $ (échelon unité ou fonction Theta de Heaviside) se note echelon() ou echelonunite().
dCode supporte également les fonctions rectangle() ou porte() ou encore la fonction triangle() ou chapeau().

Pourquoi calculer la transformée de Laplace ?

La transformation de Laplace a pour propriété de convertir les intégrales en division et les dérivées en multiplication.

$$ \mathcal{L} \{ f'(t) \} = s \int_{-\infty}^\infty e^{-st} f(t) \, dt = s \cdot \mathcal{L} \{ f(t) \} $$

Cette propriété permet de résoudre les équations différentielles linéaires.

Quand appliquer la transformée de Laplace ?

La transformation de Laplace trouve des applications dans de nombreux domaines, notamment :

— Traitement du signal : Pour le filtrage et l'analyse de signaux, notamment dans le domaine de la communication.

— Ingénierie électrique : Pour analyser les circuits électriques RLC et leur réponse transitoire.

— Mécanique : Pour étudier la réponse vibratoire des systèmes mécaniques et leur amortissement.

— Contrôle des processus : Pour concevoir des contrôleurs et analyser la stabilité de processus industriels.

— etc.

Comment noter/écrire la transformée de Laplace ?

La transformée de Laplace s'écrit avec un L manuscrit $ \mathcal{L} $ (ou parfois avec un f majuscule : $ F $)

En LaTeX, utiliser \mathcal{L}

Code source

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Citer comme source bibliographique :
Transformation de Laplace sur dCode.fr [site web en ligne], consulté le 18/07/2024, https://www.dcode.fr/transformation-laplace

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