Dérivée Nième

La dérivée nième (ou dérivée d'ordre $ n $) d'une fonction $ f $ consiste en l'application de la dérivée de manière itérative $ n $ fois sur la fonction $ f $.

Exemple : $$ f(x) = x^4+\cos(x) \\ \Rightarrow f´(x) = 4 x^3-\sin(x) \\ \Rightarrow f´´(x) = 12x^2-\cos(x) \\ \Rightarrow f´´´(x) = 24x+\sin(x) \\ \Rightarrow f´´´´(x) = 24+\cos(x) $$

En physique, les dérivées sont utiles pour décrire les systèmes, la première dérivée d'une trajectoire par rapport au temps représente la vitesse, la dérivée seconde représente l'accélération et la dérivée troisième caractérise l'à-coup (jerk).

Une dérivée nième peut être écrite soit $ f^{(n)}(x) $, soit $ \frac{d^n f}{dx^n} $.

Lorsque $ n $ est petit (et vaut 1, 2 ou 3), il est courant d'écrire un prime (une apostrophe) f' pour la dérivée, f' ' pour la dérivée seconde, f' ' ' pour la dérivée troisième, etc.

Les fonctions trigonométriques $ \sin $ et $ \cos $ ont des dérivées successives périodiques.

$$ f^{(4n)}(x) = \cos(x) \\ f^{(4n + 1)} (x) = -\sin (x) \\ f^{(4n + 2)} (x) = -\cos (x) \\ f^{(4n + 3)} (x) = \sin (x) $$

$$ f^{(4n)}(x) = \sin(x) \\ f^{(4n + 1)} (x) = \cos (x) \\ f^{(4n + 2)} (x) = -\sin (x) \\ f^{(4n + 3)} (x) = -\cos (x) $$