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Dérivée Nième

Outil de calcul de dérivées n-ièmes f^(n), soit 1,2,3 ou n fois l'application de la dérivation à la fonction, soit une n-tuple dérivation successive/itérée sur la même variable.

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Dérivée Nième -

Catégorie(s) : Fonctions

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Dérivée Nième

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Calculatrice de Dérivée Nième




Outil de calcul de dérivées n-ièmes f^(n), soit 1,2,3 ou n fois l'application de la dérivation à la fonction, soit une n-tuple dérivation successive/itérée sur la même variable.

Réponses aux Questions

Comment calculer une dérivée nième ?

La dérivée nième (ou dérivée d'ordre $ n $) d'une fonction $ f $ consiste en l'application de la dérivée de manière itérative $ n $ fois sur la fonction $ f $.

Exemple : $$ f(x) = x^4+\cos(x) \\ \Rightarrow f´(x) = 4 x^3-\sin(x) \\ \Rightarrow f´´(x) = 12x^2-\cos(x) \\ \Rightarrow f´´´(x) = 24x+\sin(x) \\ \Rightarrow f´´´´(x) = 24+\cos(x) $$

A quoi sert la dérivée nième ?

En physique, les dérivées sont utiles pour décrire les systèmes, la première dérivée d'une trajectoire par rapport au temps représente la vitesse, la dérivée seconde représente l'accélération et la dérivée troisième caractérise l'à-coup (jerk).

Comment écrire une dérivée nième ?

Une dérivée nième peut être écrite soit $ f^{(n)}(x) $, soit $ \frac{d^n f}{dx^n} $.

Lorsque $ n $ est petit (et vaut 1, 2 ou 3), il est courant d'écrire un prime (une apostrophe) f' pour la dérivée, f' ' pour la dérivée seconde, f' ' ' pour la dérivée troisième, etc.

Quelles fonctions qui ont des dérivées successives remarquables ?

Les fonctions trigonométriques $ \sin $ et $ \cos $ ont des dérivées successives périodiques.

$$ f^{(4n)}(x) = \cos(x) \\ f^{(4n + 1)} (x) = -\sin (x) \\ f^{(4n + 2)} (x) = -\cos (x) \\ f^{(4n + 3)} (x) = \sin (x) $$

$$ f^{(4n)}(x) = \sin(x) \\ f^{(4n + 1)} (x) = \cos (x) \\ f^{(4n + 2)} (x) = -\sin (x) \\ f^{(4n + 3)} (x) = -\cos (x) $$

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