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Transformation de Fourier

Outil pour calculer la transformée de Fourier d'une fonction intégrable sur R, la transformation de Fourier est notée ^f ou F.

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Transformation de Fourier -

Catégorie(s) : Fonctions

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Transformation de Fourier

Calcul de Transformée de Fourier







Réponses aux Questions (FAQ)

Qu'est ce que la Transformation de Fourier ? (Définition)

La transformation de Fourier d'une fonction $ f $ est notée $ \hat{f} $ (ou parfois $ F $), son résultat (la transformée) décrit le spectre fréquentiel de $ f $.

Plusieurs définitions de la transformée de Fourier coexistent, elles sont identiques à un coefficient multiplicatif près (qui peut simplifier les calculs)

Pour toute fonction $ f $ intégrable sur $ \mathbb{R} $, les 3 transformées de Fourier de $ f $ les plus courantes sont :

— $ (1) $ définition la plus utilisée en physique / mécanique / électronique, avec le temps $ t $ et la fréquence $ \omega $ en rad/sec.

$$ \hat{f}(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \, \exp(i \omega t) \, \mathrm{d} t \tag{1} $$

— $ (2) $ définition mathématique de base, sans coefficient :

$$ \hat{f}(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, \exp(-i \omega x) \, \mathrm{d} x \tag{2} $$

L'avantage du facteur $ \frac{1}{\sqrt{2\pi}} $ est qu'il peut être réutilisée pour la transformation de Fourier inverse.

— $ (3) $ définition alternative en physique :

$$ \hat{f}(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \, \exp(-i 2 \pi \omega t) \, \mathrm{d} t \tag{3} $$

Comment calculer la transformée de Fourier ?

Le calcul de la transformée de Fourier est un calcul d'intégrale (voir définitions ci-dessus).

Sur dCode, indiquer la fonction, sa variable, et la variable tranformée (souvent $ \omega $ ou $ w $ ou encore $ \xi $).

Exemple : $ f(x) = \delta(t) $ et $ \hat{f}(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} $ avec la fonction $ \delta $ de Dirac.

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Citation

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Citer comme source bibliographique :
Transformation de Fourier sur dCode.fr [site web en ligne], consulté le 04/07/2022, https://www.dcode.fr/transformation-fourier

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