Outil de calcul d'une intégrale sur un intervalle. Ce calcul permet entre autre de mesurer l'aire sous la courbe de la fonction à intégrer.
Intégrale sur un Intervalle - dCode
Catégorie(s) : Fonctions, Calcul Formel
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Intégrale sur un Intervalle
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Réponses aux Questions (FAQ)
Comment calculer une intégrale sur un intervalle ?
Pour réaliser un calcul d'intégration, calculer au préalable la fonction primitive correspondante.
Soit une fonction $ f(x) $ dont est recherchée l'intégrale sur $ [a;b] $ et $ F(x) $ la primitive de $ f(x) $. Alors $$ \int^b_a f(x) \mathrm{ dx} = F(b)-F(a) $$
Exemple : Intégrer $ f(x) = x $ sur l'intervalle $ [0;1] $. Le calcul de sa primitive $ F(x) = \frac{1}{2} x^2 $ permet de calculer l'intégrale $$ \int^1_0 f(x) \mathrm{ dx} = F(1)-F(0) = \frac{1}{2} $$
Entrer la fonction, ses bornes supérieures et inférieures et la variable à intégrer et dCode fera le calcul automatiquement.
Quelle est la liste des primitives usuelles ?
| Fonction | Primitive |
|---|---|
| $$ \int \,\rm dx$$ | $$x + C$$ |
| $$ \int x^n\,\rm dx$$ | $$ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \qquad n \ne -1 $$ |
| $$ \int \frac{1}{x}\,\rm dx$$ | $$\ln \left| x \right| + C \qquad x \ne 0 $$ |
| $$ \int \frac{1}{x-a} \, \rm dx $$ | $$\ln | x-a | + C \qquad x \ne a $$ |
| $$ \int \frac{1}{(x-a)^n} \, \rm dx$$ | $$-\frac{1}{(n-1)(x-a)^{n-1}} + C \qquad n \ne 1 , x \ne a $$ |
| $$ \int \frac{1}{1+x^2} \, \rm dx$$ | $$\operatorname{arctan}(x) + C $$ |
| $$ \int \frac{1}{a^2+x^2} \, \rm dx$$ | $$\frac{1}{a}\operatorname{arctan}{ \left( \frac{x}{a} \right) } + C \qquad a \ne 0 $$ |
| $$ \int \frac{1}{1-x^2} \, \rm dx$$ | $$\frac{1}{2} \ln { \left| \frac{x+1}{x-1} \right| } + C $$ |
| $$ \int \ln (x)\,\rm dx$$ | $$x \ln (x) - x + C $$ |
| $$ \int \log_b (x)\,\rm dx$$ | $$x \log_b (x) - x \log_b (e) + C $$ |
| $$ \int e^x\,\rm dx$$ | $$e^x + C $$ |
| $$ \int a^x\,\rm dx$$ | $$\frac{a^x}{\ln (a)} + C \qquad a > 0 , a \ne 1 $$ |
| $$ \int {1 \over \sqrt{1-x^2}} \, \rm dx$$ | $$\operatorname{arcsin} (x) + C $$ |
| $$ \int {-1 \over \sqrt{1-x^2}} \, \rm dx$$ | $$\operatorname{arccos} (x) + C $$ |
| $$ \int {x \over \sqrt{x^2-1}} \, \rm dx$$ | $$\sqrt{x^2-1} + C $$ |
| $$ \int \sin(x)\,\rm dx $$ | $$ -\cos(x)+C $$ |
| $$ \int \cos(x)\,\rm dx $$ | $$ \sin(x)+C $$ |
| $$ \int \tan(x)\,\rm dx $$ | $$ -\ln|\cos(x)|+C $$ |
Rappel : la dérivée de la primitive d'une fonction est la fonction elle-même.
Que sont les fonctions E, F, I0, K0 ?
Le calcul de certaines formes d'intégrales font intervenir des fonctions spéciales comme $ E $ et $ F $ qui sont des intégrales elliptiques ou $ I_0, I_n, J_0, J_n, K_0, K_n $ qui sont des fonctions de Bessel.
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