Outil de calcul d'une intégrale sur un intervalle. Ce calcul permet entre autre de mesurer l'aire sous la courbe de la fonction à intégrer.
Intégrale sur un Intervalle - dCode
Catégorie(s) : Fonctions, Calcul Formel
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Intégrale sur un Intervalle
Calcul de Primitive
Cette page traite du calcul d'intégrale sur un intervalle. Pour le cas général, avec des bornes infinies, voir le calcul de primitives.
Calculatrice d'Intégrale sur un Intervalle
Outil de calcul d'une intégrale sur un intervalle. Ce calcul permet entre autre de mesurer l'aire sous la courbe de la fonction à intégrer.
Réponses aux Questions
Comment calculer une intégrale sur un intervalle ?
Pour réaliser un calcul d'intégration, calculer au préalable la fonction primitive correspondante.
Soit une fonction \( f(x) \) dont est recherchée l'intégrale sur \( [a;b] \) et \( F(x) \) la primitive de \( f(x) \). Alors $$ \int^b_a f(x) \mathrm{ dx} = F(b)-F(a) $$
Exemple : Intégrer \( f(x) = x \) sur l'intervalle \( [0;1] \). Le calcul de sa primitive \( F(x) = \frac{1}{2} x^2 \) permet de calculer l'intégrale $$ \int^1_0 f(x) \mathrm{ dx} = F(1)-F(0) = \frac{1}{2} $$
Entrer la fonction, ses bornes supérieures et inférieures et la variable à intégrer et dCode fera le calcul automatiquement.
Quelle est la liste des primitives usuelles ?
| Fonction | Primitive |
|---|---|
| $$ \int \,\rm dx$$ | $$x + C$$ |
| $$ \int x^n\,\rm dx$$ | $$ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \qquad n \ne -1 $$ |
| $$ \int \frac{1}{x}\,\rm dx$$ | $$\ln \left| x \right| + C \qquad x \ne 0 $$ |
| $$ \int \frac{1}{x-a} \, \rm dx $$ | $$\ln | x-a | + C \qquad x \ne a $$ |
| $$ \int \frac{1}{(x-a)^n} \, \rm dx$$ | $$-\frac{1}{(n-1)(x-a)^{n-1}} + C \qquad n \ne 1 , x \ne a $$ |
| $$ \int \frac{1}{1+x^2} \, \rm dx$$ | $$\operatorname{arctan}(x) + C $$ |
| $$ \int \frac{1}{a^2+x^2} \, \rm dx$$ | $$\frac{1}{a}\operatorname{arctan}{ \left( \frac{x}{a} \right) } + C \qquad a \ne 0 $$ |
| $$ \int \frac{1}{1-x^2} \, \rm dx$$ | $$\frac{1}{2} \ln { \left| \frac{x+1}{x-1} \right| } + C $$ |
| $$ \int \ln (x)\,\rm dx$$ | $$x \ln (x) - x + C $$ |
| $$ \int \log_b (x)\,\rm dx$$ | $$x \log_b (x) - x \log_b (e) + C $$ |
| $$ \int e^x\,\rm dx$$ | $$e^x + C $$ |
| $$ \int a^x\,\rm dx$$ | $$\frac{a^x}{\ln (a)} + C \qquad a > 0 , a \ne 1 $$ |
| $$ \int {1 \over \sqrt{1-x^2}} \, \rm dx$$ | $$\operatorname{arcsin} (x) + C $$ |
| $$ \int {-1 \over \sqrt{1-x^2}} \, \rm dx$$ | $$\operatorname{arccos} (x) + C $$ |
| $$ \int {x \over \sqrt{x^2-1}} \, \rm dx$$ | $$\sqrt{x^2-1} + C $$ |
| $$ \int \sin(x)\,\rm dx $$ | $$ -\cos(x)+C $$ |
| $$ \int \cos(x)\,\rm dx $$ | $$ \sin(x)+C $$ |
| $$ \int \tan(x)\,\rm dx $$ | $$ -\ln|\cos(x)|+C $$ |
Rappel : la dérivée de la primitive d'une fonction est la fonction elle-même.
Que sont les fonctions E, F, I0, K0 ?
Le calcul de certaines formes d'intégrales font intervenir des fonctions spéciales comme $ E $ et $ F $ qui sont des intégrales elliptiques ou $ I_0, I_n, J_0, J_n, K_0, K_n $ qui sont des fonctions de Bessel.
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