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Polynome Caractéristique d'une Matrice

Outil de calcul du polynome caractéristique d'une matrice. Le polynome caractéristique d'une matrice M est calculé comme le déterminant de (X.I-M).

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Polynome Caractéristique d'une Matrice -

Catégorie(s) : Matrice

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Polynome Caractéristique d'une Matrice

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Calculatrice de Polynôme Caractéristique

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Réponses aux Questions (FAQ)

Qu'est-ce que le polynome caractéristique d'une matrice ? (Définition)

Le polynome caractéristique (ou polynome annulateur ou parfois déterminant séculaire) $ P $ d'une matrice carrée $ M $ de taille $ n \times n $ est le polynome défini par $$ P(M) = \det(M - x.I_n) \tag{1} $$ ou $$ P(M) = \det(x.I_n - M) \tag{2} $$ avec $ I_n $ la matrice identité de taille $ n $ (et det le déterminant matriciel).

Les 2 valeurs possibles $ (1) $ et $ (2) $ donnent des résultats opposés, mais comme le polynome sert à trouver des racines, le signe n'a pas d'importance.

L'équation $ P = 0 $ est appelée équation caractéristique de la matrice.

Pourquoi calculer le polynome caractéristique d'une matrice ?

Le polynome caractéristique $ P $ d'une matrice, comme son nom l'indique, caractérise une matrice, il permet notamment de calculer les valeurs propres et les vecteurs propres.

Comment calculer le polynome caractéristique d'une matrice diagonale ?

Si $ M $ est une matrice diagonale avec $ \lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n $ comme éléments de diagonale, alors le calcul se simplifie et $$ P(M) = (x-\lambda_1)(x-\lambda_2)\ldots(x-\lambda_n) $$

Comment calculer le polynome caractéristique d'une matrice triangulaire ?

Si $ M $ est une matrice triangulaire avec $ \lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n $ comme éléments de diagonale, alors comme pour la matrice diagonale, le calcul se simplifie et $$ P(M) = (x-\lambda_1)(x-\lambda_2)\ldots(x-\lambda_n) $$

Comment calculer le polynome caractéristique d'une matrice 2x2 ?

Le calcul du polynome caractéristique d'une matrice carré d'ordre 2 se calcule via le déterminant de la matrice $ [ x.I_2 - M ] $ soit $$ P(M) = \det [ x.I_2 - M ] $$

Le polynome peut s'écrire via une autre formule à l'aide de la trace de la matrice $ M $ (notée Tr): $$ P(M) = \det [ x.I_2 - M ] = x^2 - \operatorname{Tr}(M)x+ \det(M) $$

Exemple : $$ M=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \\ \Rightarrow x.I_n - M = \begin{pmatrix} x & 0 \\ 0 & x \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x-1 & -2 \\ -3 & x-4 \end{pmatrix} \\ \Rightarrow \det(x.I_n - M) = (x-1)(x-4)-((-2)\times(-3)) = x^2-5x-2 $$

Comment calculer le polynome caractéristique d'une matrice 3x3 ?

Le calcul du polynome caractéristique d'une matrice carré d'ordre 3 se calcule via le déterminant de la matrice $ [ x.I_3 - M ] $ soit $$ P(M) = \det [ x.I_3 - M ] $$

Exemple : $$ M = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} $$ $$ [ x.I_3 - M ] = x \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - M = \begin{pmatrix} x-a & -b & -c \\ -d & x-e & -f \\ -g & -h & x-i \end{pmatrix} $$ $$ P(M) = \det [ x.I_3 - M ] = -a e i+a e x+a f h+a i x-a x^2+b d i-b d x-b f g-c d h+c e g-c g x+e i x-e x^2-f h x-i x^2+x^3 $$

Il est possible d'utiliser une autre formule utilisant la Trace de la matrice $ M $ (notée Tr) : $$ P(M) = x^3 + \operatorname{Tr}(M)x^2 + ( \operatorname{Tr}^2(M) - \operatorname{Tr}(M^2) ) x + ( \operatorname{Tr}^3(M) + 2\operatorname{Tr}(M^3) - 3 \operatorname{Tr}(M) \operatorname{Tr}(M^2) ) $$

Existe-t-il plusieurs polynomes caractéristiques pour une matrice ?

Le polynome caractéristique est unique pour une matrice donnée. Il n'y a qu'une seule façon de le calculer et il n'a qu'un seul résultat.

Par contre deux matrices différentes peuvent donner un même polynome caractéristiques.

Comment calculer le polynomes caractéristique d'une matrice transposée ?

Une matrice $ M $ et sa matrice transposée $ M^T $ ont le même polynôme caractéristique.

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