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Polynome Caractéristique d'une Matrice

Outil de calcul du polynome caractéristique d'une matrice. Le polynome caractéristique d'une matrice M est calculé comme le déterminant de (X.I-M).

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Polynome Caractéristique d'une Matrice -

Catégorie(s) : Matrice

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Polynome Caractéristique d'une Matrice

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Calculatrice de Polynôme Caractéristique

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Outil de calcul du polynome caractéristique d'une matrice. Le polynome caractéristique d'une matrice M est calculé comme le déterminant de (X.I-M).

Réponses aux Questions

Qu'est-ce que le polynome caractéristique d'une matrice ? (Définition)

Le polynome caractéristique $ P $ d'une matrice carrée $ M $ de taille $ n \times n $ est le polynome défini par $$ P(M) = \det(x.I_n - M) $$ avec $ I_n $ la matrice identité de taille $ n $ (et det le déterminant matriciel).

Pourquoi calculer le polynome caractéristique d'une matrice ?

Le polynome caractéristique $ P $ d'une matrice, comme son nom l'indique, caractérise une matrice, il permet notamment de calculer les valeurs propres et les vecteurs propres.

L'équation $ P = 0 $ est appelée équation caractéristique de la matrice.

Comment calculer le polynome caractéristique d'une matrice diagonale ?

Si $ M $ est une matrice diagonale avec $ \lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n $ comme éléments de diagonale, alors le calcul se simplifie et $$ P(M) = (x-\lambda_1)(x-\lambda_2)\ldots(x-\lambda_n) $$

Comment calculer le polynome caractéristique d'une matrice 2x2 ?

Le calcul du polynome caractéristique d'une matrice carré d'ordre 2 se calcule via le déterminant de la matrice $ [ x.I_2 - M ] $ soit $$ P(M) = \det [ x.I_2 - M ] $$

Le polynome peut s'écrire via une autre formule à l'aide de la trace de la matrice $ M $ (notée Tr): $$ P(M) = \det [ x.I_2 - M ] = x^2 - \operatorname{Tr}(M)x+ \det(M) $$

Exemple : $$ M=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \\ \Rightarrow x.I_n - M = \begin{pmatrix} x-1 & -2 \\ -3 & x-4 \end{pmatrix} \\ \Rightarrow \det(x.I_n - M) = (x-1)(x-4)-((-2)\times(-3)) = x^2-5x-2 $$

Comment calculer le polynome caractéristique d'une matrice 3x3 ?

Le calcul du polynome caractéristique d'une matrice carré d'ordre 3 se calcule via le déterminant de la matrice $ [ x.I_3 - M ] $ soit $$ P(M) = \det [ x.I_3 - M ] $$

Exemple : $$ M = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} $$ $$ [ x.I_3 - M ] = x \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - M = \begin{pmatrix} x-a & -b & -c \\ -d & x-e & -f \\ -g & -h & x-i \end{pmatrix} $$ $$ P(M) = \det [ x.I_3 - M ] = -a e i+a e x+a f h+a i x-a x^2+b d i-b d x-b f g-c d h+c e g-c g x+e i x-e x^2-f h x-i x^2+x^3 $$

Il est possible d'utiliser une autre formule utilisant la Trace de la matrice $ M $ (notée Tr) : $$ P(M) = x^3 + \operatorname{Tr}(M)x^2 + ( \operatorname{Tr}^2(M) - \operatorname{Tr}(M^2) ) x + ( \operatorname{Tr}^3(M) + 2\operatorname{Tr}(M^3) - 3 \operatorname{Tr}(M) \operatorname{Tr}(M^2) ) $$

Existe-t-il plusieurs polynomes caractéristiques pour une matrice ?

Le polynome caractéristique est unique pour une matrice donnée. Il n'y a qu'une seule façon de le calculer et il n'a qu'un seul résultat.

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