Outil pour réaliser des calculs formels de produits avec l'opérateur ∏ (pi majuscule), permettant des multiplication arithmétiques infinies ou définies de 1 à n.
Produit ∏ - dCode
Catégorie(s) : Arithmétique
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Produit ∏
Calcul de Produit ∏
Réponses aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce qu'une produit ∏ ? (Définition)
En mathématiques, le produit, notée $ \prod $, est le résultat de la multiplication $ \times $ d'une suite de nombres (ou série entière).
Comment calculer un produit fini ?
En arithmétique, la notation de produit $ \prod_1^n $ permet de calculer une multiplication finie répétée de $ 1 $ jusqu'à $ n $ avec un incrément de 1 (sauf indication contraire).
Exemple : Le produit des $ 4 $ premiers entiers (aussi appelé factorielle de 4) s'écrit $$ 1 \times 2 \times 3 \times 4 = \prod_{i=1}^{4} i = 4! = 24 $$
Exemple : La factorielle croissante (ou fonction de Pochhammer) s'écrit $ (x)_n=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1) $ et $ (x+1)_n=(x+1)(x+2)\cdots(x+n) = \prod_{k=1}^{n} (x+k) $
Parfois le produit ne converge pas vers une valeur, il peut diverger et ne pas avoir de résultat.
Comment calculer un produit infini ?
La notation $ \prod_1^\infty $ (parfois raccourcie en $ \prod $) indique le calcul d'une multiplication infinie répétée à partir de $ 1 $ jusqu'à l'infini $ \infty $ selon un incrément de 1 (sauf indication contraire).
Exemple : $$ \prod_{n=2}^{\infty} \left( 1-\frac{1}{n^2} \right) = \frac{1}{2} $$
Certaines fonctions peuvent être décrites comme un produit infini
Exemple : La fonction sinus $$ \sin{x} = x \prod_{n=1}^\infty \cos\left( z/2^n \right) $$
Exemple : La fonction logarithme $$ \ln{x} = (x-1) \prod_{n=1}^\infty \frac{2}{1+x^{1/2^n}} $$
Comment calculer un double produit ?
La notation $ \prod \prod $ se lit $ \prod \left( \prod \right) $ donc le produit intérieur (entre les parenthères) est d'abord calculée, puis le produit extérieur est calculé.
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