Outil pour calculer des bases orthonormées du sous-espace engendré par des vecteurs via l'algorithme de Gram-Schmidt (orthonormalisation dans le Plan 2D, Espace 3D ou 4D) en calcul formel
Orthonormalisation de Gram-Schmidt - dCode
Catégorie(s) : Matrice
dCode est gratuit et ses outils sont une aide précieuse dans les jeux, les maths, les énigmes, les géocaches, et les problèmes à résoudre au quotidien !
Une suggestion ? un problème ? une idée ? Écrire à dCode !
L'algorithme d'orthonormalisation proposé par Gram-Schmidt permet de définir l'existence de bases orthonormées dans un espace et de les construire (à partir d'une base quelconque).
Soit un ensemble de vecteurs $ \vec{v_i} $ et sa base orthonormée, composée des vecteurs $ \vec{e_i} $, correspondante, alors l'algorithme de Gram-Schmidt consiste à calculer les vecteurs orthogonaux $ \vec{u_i} $ qui permettront d'obtenir les vecteurs orthonormaux $ \vec{e_i} $ dont les composantes sont les suivantes (l'opérateur . est le produit scalaire sur l'espace vectoriel)
$$ \vec{u_1} = \vec{v_1} \ , \quad \vec{e_1} = \frac{ \vec{u_1} } { \| \vec{u_1} \| } $$
$$ \vec{u_2} = \vec{v_2} - \frac{ \vec{u_1} . \vec{v_2} }{ \vec{u_1} . \vec{u_1} } \vec{u_1} \ , \quad \vec{e_2} = \frac{ \vec{u_2} } { \| \vec{u_2} \| } $$
$$ \vec{u_3} = \vec{v_3} - \frac{ \vec{u_1} . \vec{v_3} }{ \vec{u_1} . \vec{u_1} } \vec{u_1} - \frac{ \vec{u_2} . \vec{v_3} }{ \vec{u_2} . \vec{u_2} } \vec{u_2} \ , \quad \vec{e_3} = \frac{ \vec{u_3} } { \| \vec{u_3} \| } $$
$$ \vec{u_k} = \vec{v_k} - \sum_{j=1}^{k-1} { \frac{ \vec{u_j} . \vec{v_k} }{ \vec{u_j} . \vec{u_j} } \vec{u_j} } \ , \quad \vec{e_k} = \frac{ \vec{u_k} } { \| \vec{u_k} \| } $$
Exemple : Les vecteurs $ \vec{v_1} = (1,2) $ et $ \vec{v_2} = (1,0) $ de $ \mathbb{R}^2 $ (plan 2D) ont pour base orthonormée $ \vec{e_1} = \left( \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}} \right) $ et $ \vec{e_2} = \left( \frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{-1}{\sqrt{5}} \right) $
Travailler avec une base orthonormée présente de nombreux avantages. Tout d'abord, elle permet de simplifier les calculs, car les coordonnées des vecteurs dans cette base sont indépendantes les unes des autres. De plus, elle permet de représenter de manière unique chaque vecteur de l'espace, ce qui peut être utile dans de nombreux contextes.
dCode se réserve la propriété du code source pour "Orthonormalisation de Gram-Schmidt". Sauf code licence open source explicite (indiqué Creative Commons / gratuit), l'algorithme pour "Orthonormalisation de Gram-Schmidt", l'applet ou snippet (convertisseur, solveur, chiffrement / déchiffrement, encodage / décodage, encryptage / décryptage, traducteur) ou les fonctions liées à "Orthonormalisation de Gram-Schmidt" (calculer, convertir, résoudre, décrypter / encrypter, déchiffrer / chiffrer, décoder / encoder, traduire) codés en langage informatique (Python, Java, C#, PHP, Javascript, Matlab, etc.) ou les données, en téléchargement, script, ou les accès API à "Orthonormalisation de Gram-Schmidt" ne sont pas publics, idem pour un usage hors ligne, PC, mobile, tablette, appli iPhone ou Android !
Rappel : dCode est gratuit.
Le copier-coller de la page "Orthonormalisation de Gram-Schmidt" ou de ses résultats est autorisée (même pour un usage commercial) tant que vous créditez dCode !
L'exportation des résultats sous forme de fichier .csv ou .txt est gratuite en cliquant sur l'icone export
Citer comme source bibliographique :
Orthonormalisation de Gram-Schmidt sur dCode.fr [site web en ligne], consulté le 03/12/2024,