Orthonormalisation de Gram-Schmidt

Soit un ensemble de vecteurs $ \vec{v_i} $ et sa base orthonormée, composée des vecteurs $ \vec{e_i} $, correspondante, alors l'algorithme de Gram-Schmidt consiste à calculer les vecteurs orthogonaux $ \vec{u_i} $ qui permettrons d'obtenir les vecteurs orthonormaux $ \vec{e_i} $ dont les composantes sont les suivantes (l'opérateur . est le produit scalaire sur l'espace vectoriel)

$$ \vec{u_1} = \vec{v_1} \ , \quad \vec{e_1} = \frac{ \vec{u_1} } { \| \vec{u_1} \| } $$

$$ \vec{u_2} = \vec{v_2} - \frac{ \vec{u_1} . \vec{v_2} }{ \vec{u_1} . \vec{u_1} } \vec{u_1} \ , \quad \vec{e_2} = \frac{ \vec{u_2} } { \| \vec{u_2} \| } $$

$$ \vec{u_3} = \vec{v_3} - \frac{ \vec{u_1} . \vec{v_3} }{ \vec{u_1} . \vec{u_1} } \vec{u_1} - \frac{ \vec{u_2} . \vec{v_3} }{ \vec{u_2} . \vec{u_2} } \vec{u_2} \ , \quad \vec{e_3} = \frac{ \vec{u_3} } { \| \vec{u_3} \| } $$

$$ \vec{u_k} = \vec{v_k} - \sum_{j=1}^{k-1} { \frac{ \vec{u_j} . \vec{v_k} }{ \vec{u_j} . \vec{u_j} } \vec{u_j} } \ , \quad \vec{e_k} = \frac{ \vec{u_k} } { \| \vec{u_k} \| } $$

Exemple : Les vecteurs $ \vec{v_1} = (1,2) $ et $ \vec{v_2} = (1,0) $ de $ \mathbb{R}^2 $ (plan 2D) ont pour base orthonormée $ \vec{e_1} = \left( \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}} \right) $ et $ \vec{e_2} = \left( \frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{-1}{\sqrt{5}} \right) $