Valeurs Propres d'une Matrice

Pour calculer les valeurs propre, prendre une matrice carré \( M \) de taille \( m \times m \). Les valeurs propres de \( M \) sont les racines du polynome caractéristique \( P \) de la matrice \( M \).

Le caractère lambda \( \lambda \) est donné à une valeur propre associée au vecteur (propre) \( v \) si $$ M.v = \lambda v \iff (M-\lambda I_m).v = 0 $$ avec \( I_m \) la matrice identité (de taille \( m \)).

Une valeur propre d'une matrice est toujours associée à un vecteur propre. Utiliser la calculatrice de vecteurs propres proposé par dCode.

Exemple : La matrice 2x2 $$ M=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \Rightarrow P(M) = x^2 − 4x − 5 = (x+1)(x-5) $$

Exemple : $$ P(M)=0 \iff x= -1 \mbox{ ou } x = 5 $$ Les valeurs propres de la matrice \( M \) sont donc \( -1 \) et \( 5 \). Et les vecteurs propres associés sont \( \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} \) pour \( 5 \) et \( \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} \) pour \( -1 \).

Normalement la définition du vecteur propre l'exclus. Cependant s'il n'y a pas autant de vecteurs propres indépendants que de valeurs propres, dCode affichera un vecteur nul.

En anglais, les valeurs propres s'appellent eigenvalues, eigen vient en fait de l'allemand qui signifie propre dans le sens caractéristique.