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Valeurs Propres d'une Matrice

Outil de calcul des valeurs propres d'une matrice. Les valeurs propres d'une matrice sont les racines du polynôme caractéristique, ce sont des valeurs qui permettent de réduire les endomorphismes associés.

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Valeurs Propres d'une Matrice -

Catégorie(s) : Matrice

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Valeurs Propres d'une Matrice

Calculateur de Valeurs Propres

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Calculateur de Vecteurs Propres

Réponses aux Questions (FAQ)

Qu'est ce qu'une valeur propre d'une matrice ? (Définition)

Les valeurs propres d'une matrice carrée $ M $ de taille $ m \times m $ (2x2, 3x3, 4x4, etc.), sont les scalaires notées avec le caractère lambda $ \lambda $ qui sont associés aux vecteurs propres $ \vec{v} $ tels que $$ M.\vec{v} = \lambda \vec{v} $$

En pratique, les valeurs propres $ \lambda $ de la matrice $ M $ sont les racines de son polynôme caractéristique $ P $ car $$ (M-\lambda I_m).\vec{v} = 0 $$ (avec $ I_m $ la matrice identité de taille $ m $).

Une valeur propre d'une matrice est toujours associée à un vecteur propre. Utiliser le calculateur de vecteurs propres proposé par dCode.

Comment calculer les valeurs propres d'une matrice ?

Pour déterminer/trouver les valeurs propres d'une matrice, calculer les racines de son polynôme caractéristique.

Exemple : La matrice 2x2 (d'ordre 2) $ M=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} $ a pour polynôme caractéristique $ P(M) = x^2 − 4x − 5 = (x+1)(x-5) $. Les racines de $ P $ sont trouvées par le calcul $ P(M)=0 \iff x= -1 $ ou $ x = 5 $. Les valeurs propres de la matrice $ M $ sont donc $ -1 $ et $ 5 $.

NB : les vecteurs propres associés sont $ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} $ pour $ 5 $ et $ \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} $ pour $ -1 $

Combien de valeurs propres a une matrice ?

Une matrice carré de dimension/taille $ n $ possède $ n $ valeurs propres. Attention cependant, certaines valeurs propres peuvent être identiques, pour connaitre le nombre de valeurs propres distinctes (sans multiplicité) alors calculer les racines (distinctes) du polynome caractéristique de la matrice.

Pourquoi calculer les valeurs propres d'une matrice ?

Les valeurs propres sont des nombres caractérisant une matrice. Ces nombres sont importants car, associés à leur vecteurs propres, ils permettent de déterminer les directions propres de la matrice et de l'exprimer dans une base sous une forme simplifiée (voir diagonalisation de matrice), ce qui facilite les calculs.

Comment démontrer qu'une valeur est une valeur propre d'une matrice ?

Pour déterminer qu'une valeur λ est une valeur propre d'une matrice $ M $, montrer qu'il existe un vecteur non nul $ \vec{x} $ tel que $ M . \vec{x} = \lambda . \vec{x} $. Si cette équation a une solution pour $ \vec{x} $, alors $ \lambda $ est une valeur propre de la matrice $ M $.

Pourquoi les valeurs propres sont parfois des nombres complexes ?

Si les racines du polynôme caractéristique n'ont pas des valeurs sur l'ensemble des nombres réels $ \mathbb{R} $ alors elles sont calculées sur l'ensemble des nombres complexes $ \mathbb{C} $ ce qui introduit des valeurs propres complexes.

Ce cas peut se produire même si les valeurs de la matrice sont toutes des nombres réels.

Les valeurs propres complexes n'ont pas de sens physique et sont généralement exclus des calculs de mécanique/physique etc.

Pourquoi les valeurs s'appellent propres ?

En anglais, les valeurs propres s'appellent eigenvalues, eigen vient en fait de l'allemand qui signifie propre dans le sens caractéristique.

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Citer comme source bibliographique :
Valeurs Propres d'une Matrice sur dCode.fr [site web en ligne], consulté le 19/03/2024, https://www.dcode.fr/valeurs-propres-matrice

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