Valeurs Propres d'une Matrice

Les valeurs propres d'une matrice carrée $ M $ de taille $ n \times n $ (2x2, 3x3, 4x4, etc.) sont des scalaires notés lambda $ \lambda $ tels qu'il existe un vecteur non nul $ \vec{v} $ vérifiant $$ M \dot \vec{v} = \lambda \vec{v} $$

Le vecteur $ \vec{v} $ est alors appelé vecteur propre associé à la valeur propre $ \lambda $.

Cette relation signifie que l'application linéaire représentée par la matrice $ M $ transforme le vecteur $ \vec{v} $ par un changement d'échelle (multiplication par $ \lambda $) sans modifier sa direction.

Pour déterminer les valeurs propres d'une matrice $ M $, calculer les racines de son polynôme caractéristique en résolvant l'équation $ \det(M - \lambda I_n) = 0 $

Les solutions $ \lambda $ de cette équation sont les valeurs propres de la matrice.

Une matrice carrée de taille $ n \times n $ possède exactement $ n $ valeurs propres dans l'ensemble des nombres complexes $ \mathbb{C} $, en comptant les multiplicités.

Cette propriété provient du fait que le polynôme caractéristique est un polynôme de degré $ n $, donc il possède $ n $ racines dans $ \mathbb{C} $ (théorème fondamental de l'algèbre).

Les valeurs propres sont des nombres qui caractérisent le comportement d'une matrice lorsqu'elle agit sur des vecteurs. Associées aux vecteurs propres, elles permettent d'identifier les directions particulières dans lesquelles la transformation linéaire représentée par la matrice agit simplement comme une multiplication par un scalaire.

Ces informations permettent notamment :

— de simplifier une matrice par diagonalisation

— de calculer plus facilement les puissances d'une matrice

— d'étudier la stabilité de systèmes dynamiques

— d'analyser des données (par exemple dans certaines méthodes de réduction de dimension)

Dans une base de vecteurs propres, la matrice peut parfois s'écrire sous une forme simplifiée (cf diagonalisation de matrice), ce qui simplifie fortement les calculs.

Pour montrer qu'une valeur λ est une valeur propre d'une matrice $ M $, vérifier qu'il existe un vecteur non nul $ \vec{x} $ tel que $ M \dot \vec{x} = \lambda \dot \vec{x} $. Si ce système admet une solution pour $ \vec{x} $ non nul, alors $ \lambda $ est une valeur propre de la matrice $ M $.

Les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique d'une matrice. Si ce polynôme n'a pas toutes ses racines dans l'ensemble des nombres réels $ \mathbb{R} $, certaines racines appartiennent alors à l'ensemble des nombres complexes $ \mathbb{C} $. Ainsi, une matrice dont tous les coefficients sont réels peut néanmoins posséder des valeurs propres complexes.

Le terme 'valeur propre' provient du mot allemand eigen, qui signifie propre au sens de caractéristique ou spécifique.

En anglais, les valeurs propres sont appelées eigenvalues et les vecteurs propres eigenvectors.