Valeurs Propres d'une Matrice

Les valeurs propres sont des nombres caractérisant une matrice. Ces nombres sont importants car, associés à leur vecteurs propres, ils permettent d'exprimer la matrice sous une forme simplifiée, ce qui facilite les calculs.

Pour toute matrice carrée $ M $ de taille $ m \times m $, le caractère lambda $ \lambda $ est donné à une valeur propre associée au vecteur propre $ v $ si $$ M.v = \lambda v \iff (M-\lambda I_m).v = 0 $$ avec $ I_m $ la matrice identité (de taille $ m $).

En pratique, les valeurs propres de la matrice $ M $ sont les racines de sont polynome caractéristique $ P $.

Une valeur propre d'une matrice est toujours associée à un vecteur propre. Utiliser le calculateur de vecteurs propres proposé par dCode.

Pour trouver les valeurs propres d'une matrice, calculer les racines de son polynome caractéristique.

Exemple : La matrice 2x2 $ M=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} $ a pour polynome caractéristique $ P(M) = x^2 − 4x − 5 = (x+1)(x-5) $. Les racines de $ P $ sont trouvés par le calcul $ P(M)=0 \iff x= -1 \mbox{ ou } x = 5 $. Les valeurs propres de la matrice $ M $ sont donc $ -1 $ et $ 5 $.

NB : les vecteurs propres associés sont $ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} $ pour $ 5 $ et $ \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} $ pour $ -1 $

En anglais, les valeurs propres s'appellent eigenvalues, eigen vient en fait de l'allemand qui signifie propre dans le sens caractéristique.