Valeurs Propres d'une Matrice

Les valeurs propres sont des nombres caractérisant une matrice. Ces nombres sont importants car, associés à leur vecteurs propres, ils permettent d'exprimer la matrice sous une forme simplifiée, ce qui facilite les calculs.

Pour toute matrice carrée $ M $ de taille $ m \times m $ (2x2, 3x3, 4x4, etc.), le caractère lambda $ \lambda $ est donné à une valeur propre associée au vecteur propre $ v $ si $$ M.v = \lambda v \iff (M-\lambda I_m).v = 0 $$ avec $ I_m $ la matrice identité (de taille $ m $).

En pratique, les valeurs propres de la matrice $ M $ sont les racines de son polynôme caractéristique $ P $.

Une valeur propre d'une matrice est toujours associée à un vecteur propre. Utiliser le calculateur de vecteurs propres proposé par dCode.

Pour trouver les valeurs propres d'une matrice, calculer les racines de son polynôme caractéristique.

Exemple : La matrice 2x2 $ M=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} $ a pour polynôme caractéristique $ P(M) = x^2 − 4x − 5 = (x+1)(x-5) $. Les racines de $ P $ sont trouvées par le calcul $ P(M)=0 \iff x= -1 \mbox{ ou } x = 5 $. Les valeurs propres de la matrice $ M $ sont donc $ -1 $ et $ 5 $.

NB : les vecteurs propres associés sont $ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} $ pour $ 5 $ et $ \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} $ pour $ -1 $

Si les racines du polynôme caractéristique n'ont pas des valeurs sur $ \mathbb{R} $ alors elles sont calculées sur $ \mathbb{C} $ ce qui introduit des valeurs propres complexes.

Ce cas peut se produire même si les valeurs de la matrice sont toutes des nombres réels.

En anglais, les valeurs propres s'appellent eigenvalues, eigen vient en fait de l'allemand qui signifie propre dans le sens caractéristique.