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Valeurs Propres d'une Matrice

Outil de calcul des valeurs propres d'une matrice. Les valeurs propres d'une matrice sont les racines du polynome caractéristique, ce sont des valeurs qui permettent de réduire les endomorphismes associés.

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Valeurs Propres d'une Matrice -

Catégorie(s) : Matrice

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Valeurs Propres d'une Matrice

Calculateur de Valeurs Propres

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Outil de calcul des valeurs propres d'une matrice. Les valeurs propres d'une matrice sont les racines du polynome caractéristique, ce sont des valeurs qui permettent de réduire les endomorphismes associés.

Réponses aux Questions

Qu'est ce qu'une valeur propre d'une matrice ? (Definition)

Les valeurs propres sont des nombres caractérisant une matrice. Ces nombres sont importants car, associés à leur vecteurs propres, ils permettent d'exprimer la matrice sous une forme plus simple, ce qui facilite les calculs.

Pour toute matrice carrée $ M $ de taille $ m \times m $, le caractère lambda $ \lambda $ est donné à une valeur propre associée au vecteur propre $ v $ si $$ M.v = \lambda v \iff (M-\lambda I_m).v = 0 $$ avec $ I_m $ la matrice identité (de taille $ m $).

En pratique, les valeurs propres de la matrice $ M $ sont les racines de sont polynome caractéristique $ P $.

Une valeur propre d'une matrice est toujours associée à un vecteur propre. Utiliser le calculateur de vecteurs propres proposé par dCode.

Comment calculer les valeurs propres d'une matrice ?

Pour trouver les valeurs propres d'une matrice, calculer les racines de son polynome caractéristique.

Exemple : La matrice 2x2 $ M=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} $ a pour polynome caractéristique $ P(M) = x^2 − 4x − 5 = (x+1)(x-5) $. Les racines de $ P $ sont trouvés par le calcul $ P(M)=0 \iff x= -1 \mbox{ ou } x = 5 $. Les valeurs propres de la matrice $ M $ sont donc $ -1 $ et $ 5 $.

NB : les vecteurs propres associés sont $ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} $ pour $ 5 $ et $ \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} $ pour $ -1 $

Pourquoi les valeurs s'appellent propres ?

En anglais, les valeurs propres s'appellent eigenvalues, eigen vient en fait de l'allemand qui signifie propre dans le sens caractéristique.

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