Exponentielle

La définition de l'exponentielle est la solution de l'équation $ f' = f $ avec $ f(0) = 1 $, c'est à dire la fonction qui est sa propre dérivée et qui a pour valeur 1 en 0.

La fonction exponentielle se note exp et a par défaut pour base le nombre $ e \approx 2.71828\ldots $ (regarder les décimales du nombre e).

Exemple : $ \exp(7) = e^7 \approx 1096.633 $

La notation $ e^x $ est parfois ambigue, car $ e $ est parfois utilisé comme variable, préférer la notation $ \exp(x) $.

L'exponentielle a plusieurs propriétés remarquables

$$ \exp(0) = 1 \\ \exp(1) = e \approx 2.71828\ldots \\ e^x + e^y = e^x \times e^y \\ (e^x)^b = e^{bx} \\ \ln(\exp(x)) = x \\ \exp(\ln(x)) = x $$

La dérivée de la fonction exponentielle est la fonction exponentielle elle-même

$$ f(x) = \exp(x) \iff f'(x) = \exp(x) $$

L'exponentielle est liée à l'exponentiation par la formule :

$$ a^b = e^{b\ln(a)} $$

Dans le plan complexe, l'exponentielle a plusieurs autres propriétés (forme exponentielle complexe) :

$$ \exp(i x) = \cos x + i \sin x \\ \exp(a + i b) = \exp(a) ( \cos b + i \sin b ) $$

La fonction exponentielle peut se définir comme un développement en série à base de factorielle et d'exponentiation :

$$ \exp(x)=\sum _{{n=0}}^{{\infty }}{x^{n} \over n!} $$