Développement Limité

En mathématiques, un développement limité (DL) d'une fonction $ f $ au voisinage d'un point $ a $ est une écriture de la forme $$ f(x) = P_n(x-a) + O(x^{n+1}) $$ avec $ P_n $ un polynôme de degré inférieur ou égal à $ n $, et $ O(x^{n+1}) $ un reste négligeable devant $ (x-a)^n $ au voisinage de $ a $

Un développement limité d'ordre $ n $ fournit donc la meilleure approximation polynomiale locale de la fonction jusqu'au terme de degré $ n $. Plus l'ordre est élevé, plus l'approximation est précise près de $ a $.

Pour calculer un développement limité d'ordre $ n $ d'une fonction $ f(x) $ au voisinage d'un point $ a $, la fonction doit être $ n $ fois dérivable au voisinage de $ a $. La formule de Taylor-Young donne alors :

$$ f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n} + O(x^{n+1}) \\ = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k} + O(x^{n+1}) $$

avec $ O(x^n) $ la notation asymptotique de Landau indiquant la précision, valeur tendant à être négligeable par rapport à $ (x-a)^n $ au voisinage de $ a $.

Les développements suivants sont valables au voisinage de $ 0 $, voici une liste des DL usuels à connaitre.

— Fonction exponentielle (exp) et fonctions logarithmes (ln ou log) :

$$ \begin{aligned} \exp(x) &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \\ &= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + O(x^n+1) \\ \ln(1-x) &= -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} \\ &= -x- \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \cdots - \frac{x^n}{n} + O(x^n+1) \\ \ln(1+x) &= \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} \\ &= x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots + (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} + O(x^n+1) \end{aligned} $$

— Fonctions puissance et racine (sqrt)

$$ \begin{aligned} (1+x)^a &= \sum_{n=0}^{\infty}\binom{a}{n} x^n \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} x^n \prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}} \\ &= 1 + ax + \frac{a(a-1)}{2!}x^2 + \frac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3 + \cdots + \frac{a(a-1)(a-2)\cdots(a-n+1)}{n!}x^n + O(x^n+1) \\ (1+x)^{1/2} &= \sqrt{1+x} \\ &= 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 - \frac{5}{128}x^4 + \frac{7}{256}x^5 + \cdots \\ (1+x)^{-1/2} &= \frac{1}{\sqrt{1+x}} \\ &= 1 -\frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2 - \frac{5}{16}x^3 + \frac{35}{128}x^4 - \frac{63}{256}x^5 + \cdots \end{aligned} $$

— Fonctions inverses

$$ \begin{aligned} \frac{1}{1+x} &= \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n \\ &= 1 - x + x^2 - x^3 + \cdots + (-1)^n x^n + O(x^n) \\ \frac{1}{(1+x)^2} &= \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n nx^{n-1} \\ &= 1 - 2x + 3x^2 - \cdots + (-1)^n nx^{n-1} + O(x^n) \\ \frac{1}{1-x} &= \sum_{n=0}^{\infty} x^{n} \\ &= 1 + x + x^2 + \cdots + x^n + O(x^n) \\ \frac{1}{(1-x)^2} &= \sum_{n=1}^{\infty} nx^{n-1} \\ &= 1 + 2x + 3x^2 + \cdots + nx^{n-1} + O(x^n) \end{aligned} $$

— Fonctions trigonométriques (cosinus, sinus, tangente)

$$ \begin{aligned} \cos(x) &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} \\ &= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots + \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} + O(x^{2n+1}) \\ \sin(x) &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} \\ &= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \cdots + \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} + O(x^{2n+2}) \\ \tan(x) &= \sum^{\infty}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1} \\ &= x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \cdots + \frac{B_{2n}(-4)^n(1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1} + O(x^{2n}) \\ \sec(x) &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n} \\ &= 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24} + \cdots + \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n} + O(x^{2n+1}) \end{aligned} $$

avec $ E_n $ les nombres d'Euler.

— Fonctions trigonométriques complémentaires et réciproques

$$ \begin{aligned} \arccos(x) &= \frac{\pi}{2} - \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} \\ &= \frac{\pi}{2} - x - \frac{x^3}{2 \times 3} - \frac{1 \times 3 \times x^5}{2 \times 4 \times 5} - \cdots - \frac{1 \times 3 \times 5 \cdots (2n-1)x^{2n+1}}{2 \times 4 \times 6 \cdots (2n) \times (2n+1)} + O(x^{2n+2}) \\ \arcsin(x) &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} \\ &= x + \frac{x^3}{2 \times 3} + \frac{1 \times 3 \times x^5}{2 \times 4 \times 5} + \cdots + \frac{1 \times 3 \times 5 \cdots (2n-1)x^{2n+1}}{2 \times 4 \times 6 \cdots (2n) \times (2n+1)} + O(x^{2n+2}) \\ \arctan(x) &= \sum^{\infty}_{n=0} (-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1} \\ &= x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots + (-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1} + O(x^{2n+2}) \end{aligned} $$

— Fonctions trigonométriques hyperboliques et réciproques

$$ \begin{aligned} \cosh(x) &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^{2n}}{(2n)!} \\ &= 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots + \frac{x^{2n}}{(2n)!} + O(x^{2n+1}) \\ \sinh(x) &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \\ &= x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots + \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + O(x^{2n+2}) \\ \tanh(x) &= \sum^{\infty}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n \left(4^n-1\right)}{(2n)!} x^{2n-1} \\ &= x - \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} - \frac{17x^7}{315} + \cdots + \frac{B_{2n} 4^n (4^{n}-1)}{(2n)!} x^{2n-1} + O(x^{2n}) \\ \operatorname{asinh}(x) &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} \\ &= x - \frac{x^3}{2 \times 3} + \cdots +(-1)^{n} \frac{1 \times 3 \times 5 \cdots (2n-1)x^{2n+1}}{2 \times 4 \times 6 \cdots (2n) \times (2n+1)} + O(x^{2n+2}) \\ \operatorname{atanh}(x) &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \\ &= x + \frac{x^3}{3} + \cdots + \frac{x^{2n+1}}{2n+1} + O(x^{2n+2}) \end{aligned} $$

avec $ B_n $ les nombres de Bernoulli

Une série de Taylor est une série infinie (sans approximation) aussi appelé série entière.

Un développement limité d'ordre $ n $ est une approximation polynomiale finie.

Dans la majorité des cas pratiques, calculer un développement limité consiste à utiliser la formule de Taylor et à s'arrêter au degré souhaité.

Lorsque la série de Taylor converge vers la fonction (cas des fonctions analytiques), les développements limités sont égaux aux sommes partielles de la série de Taylor.