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Développement Limité

Outil pour calculer des développements limités (Taylor, etc.) permettant une approximation de fonction ou d'expression mathématiques.

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Développement Limité -

Catégorie(s) : Fonctions

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Développement Limité

Calculatrice de Développement Limité





Réponses aux Questions (FAQ)

Qu'est-ce qu'un développement limité ? (Définition)

En mathématiques, un développement limité d'une fonction au voisinage d'un point considéré est une expression polynomiale permettant une approximation de de cette fonction. Le développement limité est donc composé d'une fonction polynomiale (somme de polynomes) et d'un reste qui est petit (ou négligeable) au voisinage du point.

Comment calculer un développement limité ?

Pour calculer un développement limité (DL) d'ordre $ n $ d'une fonction $ f(x) $ au voisinage d'une valeur $ a $, si la fonction est dérivable en $ a $, alors il est possible d'utiliser la formule de Taylor-Young qui décompose toute fonction en :

$$ f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n} + O(x^{n+1}) \\ = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k} + O(x^{n+1}) $$

avec $ O(x^n) $ la notation asymptotique de Landau indiquant la précision, valeur tendant à être négligeable par rapport à $ (x-a)^n $ au voisinage de $ a $.

Exemple : La fonction exponentielle (ayant une dérivée nième facile à calculer) a pour développement limité en $ 0 $ : $ \exp(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + O(x^n) $$

Quels sont les développements limités des fonctions usuelles ?

Voici une liste des DL usuels à connaitre.

— Fonction exponentielle (exp) et fonctions logarithmes (ln ou log) :

$$ \begin{aligned} \exp(x) &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \\ &= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + O(x^n+1) \\ \ln(1-x) &= -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} \\ &= -x- \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \cdots - \frac{x^n}{n} + O(x^n+1) \\ \ln(1+x) &= \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} \\ &= x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots + (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} + O(x^n+1) \end{aligned} $$

— Fonctions puissance et racine (sqrt)

$$ \begin{aligned} (1+x)^a &= \sum_{n=0}^{\infty}\binom{a}{n} x^n \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} x^n \prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}} \\ &= 1 + ax + \frac{a(a-1)}{2!}x^2 + \frac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3 + \cdots + \frac{a(a-1)(a-2)\cdots(a-n+1)}{n!}x^n + O(x^n+1) \\ (1+x)^{1/2} &= \sqrt{1+x} \\ &= 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 - \frac{5}{128}x^4 + \frac{7}{256}x^5 + \cdots \\ (1+x)^{-1/2} &= \frac{1}{\sqrt{1+x}} \\ &= 1 -\frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2 - \frac{5}{16}x^3 + \frac{35}{128}x^4 - \frac{63}{256}x^5 + \cdots \end{aligned} $$

— Fonctions inverses

$$ \begin{aligned} \frac{1}{1+x} &= \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n \\ &= 1 - x + x^2 - x^3 + \cdots + (-1)^n x^n + O(x^n) \\ \frac{1}{(1+x)^2} &= \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n nx^{n-1} \\ &= 1 - 2x + 3x^2 - \cdots + (-1)^n nx^{n-1} + O(x^n) \\ \frac{1}{1-x} &= \sum_{n=0}^{\infty} x^{n} \\ &= 1 + x + x^2 + \cdots + x^n + O(x^n) \\ \frac{1}{(1-x)^2} &= \sum_{n=1}^{\infty} nx^{n-1} \\ &= 1 + 2x + 3x^2 + \cdots + nx^{n-1} + O(x^n) \end{aligned} $$

— Fonctions trigonométriques (cosinus, sinus, tangente)

$$ \begin{aligned} \cos(x) &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} \\ &= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots + \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} + O(x^{2n+1}) \\ \sin(x) &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} \\ &= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \cdots + \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} + O(x^{2n+2}) \\ \tan(x) &= \sum^{\infty}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1} \\ &= x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \cdots + \frac{B_{2n}(-4)^n(1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1} + O(x^{2n}) \\ \sec(x) &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n} \\ &= 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24} + \cdots + \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n} + O(x^{2n+1}) \end{aligned} $$

avec $ E_n $ les nombres d'Euler.

— Fonctions trigonométriques complémentaires et réciproques

$$ \begin{aligned} \arccos(x) &= \frac{\pi}{2} - \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} \\ &= \frac{\pi}{2} - x - \frac{x^3}{2 imes 3} - \frac{1 \times 3 \times x^5}{2 \times 4 \times 5} - \cdots - \frac{1 \times 3 \times 5 \cdots (2n-1)x^{2n+1}}{2 \times 4 \times 6 \cdots (2n) \times (2n+1)} + O(x^{2n+2}) \\ \arcsin(x) &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} \\ &= x + \frac{x^3}{2 \times 3} + \frac{1 \times 3 \times x^5}{2 \times 4 \times 5} + \cdots + \frac{1 \times 3 imes 5 \cdots (2n-1)x^{2n+1}}{2 \times 4 \times 6 \cdots (2n) \times (2n+1)} + O(x^{2n+2}) \\ \arctan(x) &= \sum^{\infty}_{n=0} (-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1} \\ &= x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots + (-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1} + O(x^{2n+2}) \end{aligned} $$

— Fonctions trigonométriques hyperboliques et réciproques

$$ \begin{aligned} \cosh(x) &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^{2n}}{(2n)!} \\ &= 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots + \frac{x^{2n}}{(2n)!} + O(x^{2n+1}) \\ \sinh(x) &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \\ &= x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots + \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + O(x^{2n+2}) \\ \tanh(x) &= \sum^{\infty}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n \left(4^n-1\right)}{(2n)!} x^{2n-1} \\ &= x - \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} - \frac{17x^7}{315} + \cdots + \frac{B_{2n} 4^n (4^{n}-1)}{(2n)!} x^{2n-1} + O(x^{2n}) \\ \operatorname{asinh}(x) &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} \\ &= x - \frac{x^3}{2 \times 3} + \cdots +(-1)^{n} \frac{1 \times 3 \times 5 \cdots (2n-1)x^{2n+1}}{2 \times 4 \times 6 \cdots (2n) \times (2n+1)} + O(x^{2n+2}) \\ \operatorname{atanh}(x) &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \\ &= x + \frac{x^3}{3} + \cdots + \frac{x^{2n+1}}{2n+1} + O(x^{2n+2}) \end{aligned} $$

avec $ B_n $ les nombres de Bernoulli

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Citer comme source bibliographique :
Développement Limité sur dCode.fr [site web en ligne], consulté le 25/06/2024, https://www.dcode.fr/developpement-limite

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