Factorielle

La factorielle d'un nombre $ n $ et se calcule par une multiplication : c'est le produit des nombres entiers non nuls inférieur ou égaux à $ n $.

La notation usuelle pour indiquer une factorielle est le point d'exclamation positionné après le nombre : la factorielle de $ n $ est notée $ n! $.

$$ n!=\prod_{k=1}^n k = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times n $$

Exemple : $$ 4! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24 $$

Exemple : Le nombre de façon de ranger un jeu de 52 cartes vaut $$ 52! = 1 \times 2 \times \dots \times 51 \times 52 = \\ 806581751709438785716606368564037\\66975289505440883277824000000000000 \\ \approx 8.0658 \times 10^{67} $$

A noter que la factorielle de zéro vaut un : $ 0! = 1 $

Exemple : Voici les valeurs des premières factorielles $$ 0! = 1 \\ 1! = 1 \\ 2! = 2 \\ 3! = 6 \\ 4! = 24 \\ 5! = 120 \\ 6! = 720 \\ 7! = 5040 \\ 8! = 40320 \\ 9! = 362880 \\ 10! = 3628800 $$

La fonction Gamma est un prolongement de la fonction factorielle sur l'ensemble des nombres complexes. dCode propose le calcul sur l'ensemble des réels.

$$ \forall\,n \in \mathbb{N}, \; \Gamma(n+1)=n! $$

Pour calculer l'équivalent d'une factorielle de nombres négatifs, utiliser la fonction Gamma.

Pour calculer l'équivalent d'une factorielle de fractions ou de nombres à virgule, utiliser la fonction Gamma.

L'algorithme de factorielle avec une boucle : function fact(n) {
f = 1
if (n >= 2) {
for (i = 2 ; i < n; i++) {
f = f * i
}
}
return f
}

L'algorithme récursif de factorielle :function fact(n) {
if (n <= 1)
return 1
else
return fact(n-1)*n
}

Pour de grands nombres, il est possible d'estimer la valeur de $ n! $ avec une bonne précision en utilisant la formule de Stirling. $$ n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n $$