Permanent d'une Matrice

Le permanent d'une matrice carrée \( M = a_{i,j} \) est défini par $$ \operatorname{per}(M)=\sum_{\sigma\in S_n}\prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)} $$ avec \( \sigma \) les éléments du groupe symmétrique \( S_n \).

Le permanent est comme le déterminant d'une matrice, mais sans les signes - (moins).

Pour une matrice carrée d'ordre 2, le calcul du permanent est : $$ \operatorname{per}(M)=\begin{vmatrix} a & b\\c & d \end{vmatrix}=ad + bc $$

Exemple : \( M = \begin{vmatrix} 1 & 2\\3 & 4 \end{vmatrix}=1 \times 4 + 2 \times 3 = 10 \)

Pour les matrices de tailles supérieures comme 3x3, effectuer le calcul : $$ \operatorname{per}\left( \begin{vmatrix} a & b & c\\d & e & f\\g & h & i \end{vmatrix} \right) = a \operatorname{per}\left( \begin{vmatrix} e & f\\h & i \end{vmatrix} \right) + b \operatorname{per}\left( \begin{vmatrix} d & f\\g & i \end{vmatrix} \right) + c \operatorname{per}\left(\begin{vmatrix} d & e\\g & h \end{vmatrix} \right) \\ = aei+afh+bfg+bdi+cdh+ceg $$

L'idée est la même pour les matrices d'ordre supérieur.

Pour une matrice 1x1, le permanent est le seul élément de la matrice.

Comme pour le déterminant d'une matrice, le permanent d'une matrice non carré n'est pas défini.