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Complétion d'un Carré

Outil pour réaliser la complétion du carré. La complétion du carré est une méthode de calcul qui permet de factoriser un polynome de degré 2 pour en trouver une forme factorisée au carré.

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Complétion d'un Carré -

Catégorie(s) : Mathématiques, Calcul Formel

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Complétion d'un Carré

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Outil pour réaliser la complétion du carré. La complétion du carré est une méthode de calcul qui permet de factoriser un polynome de degré 2 pour en trouver une forme factorisée au carré.

Réponses aux Questions

Comment réaliser une complétion du carré ?

dCode permet de compléter le carré par la technique de dépression de polynome :

Soit \( x^2 +bx + c = 0 \) on ajoute \( (b/2)^2 - c - (b/2)^2 + c (= 0) \) ce qui permet de factoriser en $$ (x +(b/2))^2 - (b/2)^2 + c $$

Exemple : Soit \( p(x)=2x^2+12x+14 \), pour faire une complétion à la main, il faut factoriser le coefficient de \( x^2 \) : \( p(x)=2(x^2+6x+7) \) et continuer avec \( q(x) = x^2+6x+7 \)

Exemple : Repérer le coefficient de \( x \), ici \( 6 \) et diviser le par \( 2 \), pour obtenir \( β=6/2=3 \) et utiliser \( β \) pour écrire $$ q(x) = x^2 + 6x + 7 = (x+3)^2 − β^2 + 7 = (x+3)^2 − 2 $$

Exemple : Revenir à \( p(x) = 2q(x) \) pour obtenir le carré complété : $$ p(x)=2x^2+12x+14=2((x+3)^2−2)=2(x+3)^2−6 $$

Avec la forme factorisée, il devient évident de trouver les racines.

$$ p(x) = 0 \iff 2(x+3)^2−6 = 0 \iff (x+3)^2 = 3 \\ \iff x+3 = \pm \sqrt{3} \iff x = \pm \sqrt{3} - 3 $$

dCode sait également généraliser l'approche aux polynomes d'ordre \( n \) supérieurs à 2 par suppression du terme de degré \( n-1 \).

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