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Complétion d'un Carré

Outil pour réaliser la complétion du carré. La complétion du carré est une méthode de calcul qui permet de factoriser un polynome de degré 2 pour en trouver une forme factorisée au carré.

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Complétion d'un Carré -

Catégorie(s) : Calcul Formel

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Complétion d'un Carré

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Outil pour réaliser la complétion du carré. La complétion du carré est une méthode de calcul qui permet de factoriser un polynome de degré 2 pour en trouver une forme factorisée au carré.

Réponses aux Questions

Qu'est ce qu'une complétion du carré ? (Définition)

La complétion du carré est le nom donné à une méthode de factorisation des polynomes du second degré. La factorisation tient son nom du fait que la forme factorisée obtenue possède la variable dans une expression au carré.

Comment réaliser une complétion du carré ?

Pour compléter le carré et trouver les facteurs, il existe la technique de dépression de polynome :

Un polynome de degré 2 $ x^2 +bx + c = 0 $, peut être modifié en $ (b/2)^2 - c - (b/2)^2 + c (= 0) $ ce qui permet de factoriser en $$ (x +(b/2))^2 - (b/2)^2 + c $$

Exemple : Soit $ p(x)=2x^2+12x+14 $, pour faire une complétion à la main, factoriser le coefficient de $ x^2 $ : $ p(x)=2(x^2+6x+7) $ et continuer avec $ q(x) = x^2+6x+7 $

Exemple : Repérer le coefficient de $ x $, ici $ 6 $ et diviser le par $ 2 $, pour obtenir $ β=6/2=3 $ et utiliser $ β $ pour écrire $$ q(x) = x^2 + 6x + 7 = (x+3)^2 − β^2 + 7 = (x+3)^2 − 2 $$

Exemple : Revenir à $ p(x) = 2q(x) $ pour obtenir le carré complété : $$ p(x)=2x^2+12x+14=2((x+3)^2−2)=2(x+3)^2−6 $$

Avec la forme factorisée, il devient évident de trouver les racines.

$$ p(x) = 0 \iff 2(x+3)^2−6 = 0 \iff (x+3)^2 = 3 \\ \iff x+3 = \pm \sqrt{3} \iff x = \pm \sqrt{3} - 3 $$

dCode peut également généraliser cette approche aux polynomes d'ordre $ n > 2 $ par suppression du terme de degré $ n-1 $.

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