Racine d'un Polynome

Une racine d'un polynôme $ P(x) $ est une valeur de $ x $ pour laquelle le polynôme s'annule, c'est-à-dire telle que $ P(x) = 0 $

Graphiquement, une racine correspond à l'abscisse d'un point où la courbe représentative du polynôme coupe (ou touche) l'axe des abscisses.

Le principe général de calcul de racine est d'évaluer les solutions de l'équation polynome = 0 en fonction de la variable étudiée (où la courbe coupe l'axe des abscisses, ie. y=0 zéro).

Le calcul de racines de polynôme passe généralement par le calcul de son discriminant.

Utiliser l'outil de calcul de discriminant de polynôme sur dCode qui s'adapte automatiquement aux polynomes de degré 2, degré 3, etc. degré n.

Une racine évidente/triviale est une racine de polynôme facile à repérer. Soit car il s'agit des racines les plus simples comme 0, 1, -1, 2 ou -2, soit parce que la racine est déductible trivialement.

Un zéro d'une fonction polynomiale $ P $ est une solution $ x $ telle que $ P(x) = 0 $ c'est donc l'autre nom d'une racine.

Le degré d'un polynome (second degré 2 ou quadratique, troisième degré 3 ou cubique, degré 4, etc.) est l'exposant le plus élevé de la variable (souvent $ x $) ayant un coefficient non nul.

Un polynome ayant $ n $ racines/zéros notées $ x_1, x_2, \cdots, x_n $ est un polynome de degré $ n $ qui peut s'écrire sous la forme : $$ P(x) = (x-x_1)(x-x_2) \cdots (x-x_n) $$

Parfois les racines sont identiques, ou le degré est connu mais il n'y a qu'une seule racine, alors celle ci est répétée.

La sommme des racines réelles d'un polynôme de degré 2 est $ -\frac{b}{a} $

Le produit des racines réelles d'un polynôme de degré 2 est $ \frac{c}{a} $

Pour un polynôme de la forme $ ax^2 + bx + c = 0 $, si la condition $ a + b + c = 0 $ est remplie, alors les solutions sont toujours $ x_1 = 1 $ et $ x_2 = \frac{c}{a} $

La racine $ x_1 = 1 $ est évidente, en remplaçant $ x $ par $ 1 $ dans l'équation $ ax^2 + bx + c = 0 $ cela donne $ a + b + c = 0 $ donc $ 1 $ est forcément une solution.

La seconde racine $ x_2 $ se déduit du produit des racines : dans tout polynôme du second degré, le produit des deux racines est égal à $ x_1 \times x_2 = \frac{c}{a} $, or puisque $ x_1 = 1 $, alors $ 1 \times x_2 = \frac{c}{a} $