Racine d'un Polynome

Le principe général de calcul de racine est d'évaluer les solutions de l'équation polynome = 0 en fonction de la variable étudiée (où la courbe croise l'axe y=0 zéro).

Exemple : Déterminer les racines du polynome de degré 2 $ ax^2+bx+c $, ce sont les solutions de l'équation $ ax^2+bx+c = 0 $ soient $$ x=\frac{ \pm \sqrt{b^2-4 a c}-b}{2 a} $$

Le calcul de racines de polynome passe généralement par le calcul de son discriminant.

Exemple : Pour un polynome de degré 2 $ ax^2+bx+c $ le discriminant est $ \Delta = b^2-4 a c $

Utiliser l'outil de calcul de discriminant de polynome sur dCode qui s'adapte automatiquement aux polynomes de degré 2, degré 3, etc. degré n.

Une racine évidente/triviale est une racine de polynome facile à repérer. Soit car il s'agit des racines les plus simples comme 0, 1, -1, 2 ou -2, soit parce que la racine est déductible par simple regard sur le polynome.

Exemple : Le polynome $ (x+3)^2 $ possède $ -3 $ comme racine évidente

Un zéro d'une fonction polynomiale $ P $ est une solution $ x $ telle que $ P(x) = 0 $ c'est donc l'autre nom d'une racine.

Le degré d'un polynome (second degré 2 ou quadratique, troisième degré 3 ou cubique, degré 4, etc.) est la valeur de son exposant le plus grand.

Exemple : $ x^3+x^2+x $ est un polynome de degré 3

Un polynome ayant $ n $ racines/zéros notées $ x_1, x_2, \cdots, x_n $ est un polynome de degré $ n $ qui peut s'écrire sous la forme : $$ P(x) = (x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n) $$

Exemple : Trouver un polynome ayant les racines suivantes : $ 1 $ et $ -2 $, la réponse s'écrit $ P(x) = (x-1)(x+2) = x^2 + x − 2 $

Parfois les racines sont identiques, ou le degré est connu mais il n'y a qu'une seule racine, alors celle ci est répétée.

Exemple : Trouver un polynome de degré 2 ayant pour unique racine $ 1 $, la réponse est $ P(x) = (x-1)(x-1) = (x-1)^2 = x^2−2x+1 $

La sommme des racines réelles d'un polynome de degré 2 est $ -\frac{b}{a} $

Le produit des racines réelles d'un polynome de degré 2 est $ \frac{c}{a} $