Intégrale Triple

Une intégrale triple permet de calculer la somme continue des valeurs d'une fonction $ f(x,y,z) $ sur 3 dimensions de l'espace (généralement un volume noté $ V $). Elle s'écrit généralement : $$ \iiint_{(V)} f(x,y,z) \text{ d}x\text{ d}y\text{ d}z $$

Calculer cette intégrale consiste à évaluer successivement trois intégrales simples, de la plus intérieure vers la plus extérieure.

Calculer les intégrales consécutivement, de l'intérieur vers l'extérieur. Pour un domaine défini par $ x \in [a,b] $, $ y \in [c,d] $, $ z \in [e,f] $ :

$$ \iiint f(x,y,z) \text{ d}x\text{ d}y\text{ d}z = \int_e^f \left( \int_c^d \left( \int_a^b f(x,y) \text{ d}x \right) \text{ d}y \right) \text{ d}z $$

Les coordonnées cylindriques sont utilisées entre autre pour réaliser des calculs de volume via une intégration triple par changement de variables :

$$ \iiint f(x,y,z) \text{ d}x\text{ d}y\text{ d}z = \iiint f(r \cos(\theta), r\sin(\theta), z) r \text{ d}r\text{ d}\theta\text{ d}z $$

Les coordonnées sphériques sont utilisées entre autre pour réaliser des calculs de volume via une intégration triple par changement de variables :

$$ \iiint f(x,y,z) \text{ d}x\text{ d}y\text{ d}z = \iiint f(\rho \cos(\theta) \sin(\varphi), \rho \sin(\theta)\sin(\varphi), \rho \cos(\varphi) ) \rho^2 \sin(\varphi) \text{ d}\rho \text{ d}\theta \text{ d}\varphi $$

Selon le théorème de Fubini, intervertir l'ordre d'intégration est possible lorsque la fonction est continue sur le domaine d'intégration et que l'intégrale double de la valeur absolue de la fonction est finie.