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Puissance de Matrice

Outil pour calculer des puissances de matrices en calcul formel. La puissance de matrice est une exponentiation (multiplication de matrice par elle meme).

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Puissance de Matrice -

Catégorie(s) : Matrice

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Outil pour calculer des puissances de matrices en calcul formel. La puissance de matrice est une exponentiation (multiplication de matrice par elle meme).

Réponses aux Questions

Comment calculer une matrice puissance n ?

$ M $ est une matrice carré de taille $ m $ ($ m $ lignes et $ m $ colonnes). Le calcul de la puissance $ n $ ième de la matrice $ M $ se note $ M^n $ ($ M $ exposant $ n $) et consiste à multiplier la matrice $ n $ fois par elle même.

Exemple : Puissance de matrice 2x2 : au carré $$ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} ^2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 22 \end{bmatrix} $$

La taille de la matrice résultante est identique à la matrice M originale; i.e. $ m $ lignes et $ m $ colonnes.

Le calcul d'exponentiation de matrice ne fonctionne que pour des matrices carrées (2x2, 3x3, 4x4, 5x5, etc. dû aux contraintes issues du produit matriciel) et est utilisé pour certaines matrices comme les matrices stochastiques.

Pourquoi diagonaliser une matrice avant d'en calculer la puissance ?

Si la matrice est diagonalisable, alors sa diagonalisation permet de simplifier grandement les calculs de puissance car ils s'appliquent principalement sur la diagonale de la matrice.

Comment calculer une puissance négative de matrice ?

Le calcul de $ M^{-n} $ est équivalent à $ M^{-1 \times n} $. Calculer l'inverse de la matrice puis de réaliser une exponentiation à la puissance $ n $ de celle ci.

Exemple : $$ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} ^{-2} = \left( \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} ^{-1} \right)^2 $$

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