Puissance de Matrice

Question 1

Comment calculer une matrice puissance n ?

Answer

$ M $ est une matrice carré de taille $ m $ ($ m $ lignes et $ m $ colonnes). Le calcul de la puissance $ n $ ième de la matrice $ M $ se note $ M^n $ ($ M $ exposant $ n $) et consiste à multiplier la matrice $ n $ fois par elle même.

Exemple : Puissance de matrice 2x2 : au carré $$ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} ^2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 22 \end{bmatrix} $$

La taille de la matrice résultante est identique à la matrice M originale; i.e. $ m $ lignes et $ m $ colonnes.

Le calcul d'exponentiation de matrice ne fonctionne que pour des matrices carrées (2x2, 3x3, 4x4, 5x5, etc. dû aux contraintes issues du produit matriciel) et est utilisé pour certaines matrices comme les matrices stochastiques.

Question 2

Pourquoi diagonaliser une matrice avant d'en calculer la puissance ?

Answer

Si la matrice est diagonalisable, alors sa diagonalisation permet de simplifier grandement les calculs de puissance car ils s'appliquent principalement sur la diagonale de la matrice.

Question 3

Comment calculer une puissance négative de matrice ?

Answer

Le calcul de $ M^{-n} $ est équivalent à $ M^{-1 \times n} $. Calculer l'inverse de la matrice puis de réaliser une exponentiation à la puissance $ n $ de celle ci.

Exemple : $$ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} ^{-2} = \left( \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} ^{-1} \right)^2 $$

Question 4

Comment calculer une racine de matrice ?

Answer

Le calcul de $ M^{1/n} $ est équivalent à la racine $ n $-ième.

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