Parité d'une Fonction

Définition : Une fonction est paire si l'égalité $$ f(x) = f(-x) $$ est vérifiée pour tout x de l'ensemble de définition.

Exemple : $ f(x) = x^2 $ dans $ \mathbb{R} $, le calcul est $ f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x) $, donc $ f(x) $ est paire.

Graphiquement, cela se traduit par le fait que les abscisses opposées ont la même ordonnée, c'est à dire que l'axe des ordonnées est un axe de symétrie de la courbe représentant f.

Définition : Une fonction est impaire si l'égalité $$ f(x) = -f(-x) $$ est vérifiée pour tout x de l'ensemble de définition.

Exemple : $ f(x) = x^3 $ dans $ \mathbb{R} $, le calcul est $ -f(-x) = -(-x)^3 = x^3 = f(x) $, donc $ f(x) $ est impaire.

Graphiquement, cela se traduit par le faire que les abscisses opposées ont une ordonnées opposée, c'est à dire que l'origine du repère (0,0) est un centre de symétrie de la courbe représentant f.

NB: si une fonction impaire est définie en 0 alors elle passe par l'origine : $$ f(0) = 0 $$

La fonction cosinus $ \cos(x) $ est paire.

La fonction sinus $ \sin(x) $ est impaire.

La fonction tangente $ \tan(x) $ est impaire.

Les développements en séries entières ou polynomes des fonctions paires (respectivement impaires) ont des degrés pairs (respectivement impaires).