Outil pour tester la parité d'une fonction (paire ou impaire) : le caractère la fonction (sa courbe) à vérifier des propriétés de symétrie.
Parité d'une Fonction - dCode
Catégorie(s) : Fonctions
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Parité d'une Fonction
Vérification de la Parité d'une fonction
Réponses aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce que la parité d'une fonction ? (Définition)
La parité d'une fonction est une propriété donnant à la courbe de la fonction des caractéristiques de symétrie (axiale ou centrale).
— Une fonction est paire si l'égalité $$ f(x) = f(-x) $$ est vérifiée pour tout $ x $ de l'ensemble de définition. Une fonction paire propose une image identique pour des valeurs opposées. Graphiquement, cela se traduit par le fait que les abscisses opposées ont la même ordonnée, c'est à dire que l'axe des ordonnées $ y $ est un axe de symétrie de la courbe représentant $ f $.
— Une fonction est impaire si l'égalité $$ f(x) = -f(-x) $$ est vérifiée pour tout $ x $ de l'ensemble de définition. Une fonction impaire proposera des images opposées pour des valeurs opposées. Graphiquement, cela se traduit par le faire que les abscisses opposées ont une ordonnée opposée, c'est à dire que l'origine du repère (0,0) est un centre de symétrie de la courbe représentant $ f $. Les fonctions impaires présentent une symétrie de rotation de 180 degrés, leurs graphiques tournant de 180 degrés autour de l'origine.
NB: si une fonction impaire est définie en 0 alors elle passe par l'origine : $ f(0) = 0 $
Comment vérifier qu'une fonction est paire ?
Pour déterminer/montrer qu'une fonction est paire, vérifier l'égalité $ f(x) = f(-x) $, si la formule est vraie alors la fonction est paire.
Exemple : Déterminer la parité de $ f(x) = x^2 $ (fonction carrée) dans $ \mathbb{R} $, le calcul est $ f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x) $, donc la fonction carré $ f(x) $ est paire.
Etudier/prouver l'égalité pour une seule valeur comme $ f(1) = f(-1) $ ne permet pas de conclure à la parité, seulement de dire que 1 et -1 ont la même image par la fonction $ f $.
Les polynômes de degré pair sont généralement des fonctions paires.
Comment vérifier qu'une fonction est impaire ?
Pour déterminer/savoir qu'une fonction est impaire, vérifier l'égalité $ f(x) = -f(-x) $, si la formule est vraie alors la fonction est paire.
NB : Une fonction impaire s'annule $ f(x)=0 $ forcément en $ x=0 $
Exemple : Etudier la parité de $ f(x) = x^3 $ (fonction cube) dans $ \mathbb{R} $, le calcul est $ -f(-x) = -(-x)^3 = x^3 = f(x) $, donc la fonction cube $ f(x) $ est impaire.
Avoir prouvé l'égalité pour une seule valeur comme $ f(2) = -f(-2) $ ne permet pas de conclure à l'imparité, seulement de dire que 2 et -2 ont des images opposées par la fonction $ f $.
Les polynômes de degré impair sont généralement des fonctions impaires.
Comment vérifier qu'une fonction est ni paire ni impaire ?
Une fonction n'est ni impaire ni paire si aucune des deux égalités ci-dessus sont vraies, c'est-à-dire: $$ f(x) \neq f(-x) $$ et $$ f(x) \neq -f(-x) $$
Exemple : Déterminer la parité de $ f(x) = x/(x+1) $, premier calcul : $ f(-x) = -x/(-x+1) = x/(x-1) \neq f(x) $ et second calcul : $ -f(-x) = -(-x/(-x+1)) = -x/(x-1) = x/(-x+1) \neq f(x) $ donc la fonction $ f $ n'est ni paire ni impaire.
Quelle est la parité des fonctions trigonométriques (cos, sin, tan) ?
En trigonométrie, les fonctions sont souvent symétriques :
La fonction cosinus $ \cos(x) $ est paire.
La fonction sinus $ \sin(x) $ est impaire.
La fonction tangente $ \tan(x) $ est impaire.
Pourquoi une fonction est appelée paire ou impaire ?
Les développements en séries entières ou polynomes des fonctions paires (respectivement impaires) ont des degrés pairs (respectivement impaires).
Existe-t-il une fonction à la fois paire et impaire ?
Oui, la fonction $ f(x) = 0 $ (fonction constante nulle) est à la fois paire et impaire car elle respecte les 2 égalités $ f(x) = f(-x) = 0 $ et $ f(x) = -f(-x) = 0 $
Comment compléter le graphe d'une fonction paire (ou impaire) ?
Toute fonction paire a un axe de symétrie vertical : l'axe des ordonnées $ y $.
Toute fonction impaire présente une symétrie centrale de centre l'origine (0,0).
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