Parité d'une Fonction

Définition : Une fonction est paire si l'égalité $$ f(x) = f(-x) $$ est vérifiée pour tout $ x $ de l'ensemble de définition.

Une fonction paire proposera une image identique pour des valeurs opposées.

Exemple : Déterminer la parité de $ f(x) = x^2 $ (fonction carrée) dans $ \mathbb{R} $, le calcul est $ f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x) $, donc la fonction carré $ f(x) $ est paire.

Graphiquement, cela se traduit par le fait que les abscisses opposées ont la même ordonnée, c'est à dire que l'axe des ordonnées $ y $ est un axe de symétrie de la courbe représentant $ f $.

Avoir prouvé l'égalité pour une seule valeur comme $ f(1) = f(-1) $ ne permet pas de conclure à la parité, seulement de dire que 1 et -1 ont la même image par la fonction $ f $.

Définition : Une fonction est impaire si l'égalité $$ f(x) = -f(-x) $$ est vérifiée pour tout $ x $ de l'ensemble de définition.

Une fonction impaire proposera des images opposées pour des valeurs opposées.

Exemple : Déterminer la parité de $ f(x) = x^3 $ (fonction cube) dans $ \mathbb{R} $, le calcul est $ -f(-x) = -(-x)^3 = x^3 = f(x) $, donc la fonction cube $ f(x) $ est impaire.

Graphiquement, cela se traduit par le faire que les abscisses opposées ont une ordonnée opposée, c'est à dire que l'origine du repère (0,0) est un centre de symétrie de la courbe représentant $ f $.

NB: si une fonction impaire est définie en 0 alors elle passe par l'origine : $ f(0) = 0 $

Avoir prouvé l'égalité pour une seule valeur comme $ f(2) = -f(-2) $ ne permet pas de conclure à l'imparité, seulement de dire que 2 et -2 ont des images opposées par la fonction $ f $.

Une fonction n'est ni impaire ni paire si aucune des deux égalités ci-dessus sont vraies, c'est-à-dire: $$ f(x) \neq f(-x) $$ et $$ f(x) \neq -f(-x) $$

Exemple : Déterminer la parité de $ f(x) = x/(x+1) $, premier calcul : $ f(-x) = -x/(-x+1) = x/(x-1) \neq f(x) $ et second calcul : $ -f(-x) = -(-x/(-x+1)) = -x/(x-1) = x/(-x+1) \neq f(x) $ donc la fonction $ f $ n'est ni paire ni impaire.

En trigonométrie, les fonctions sont souvent symétriques :

La fonction cosinus $ \cos(x) $ est paire.

La fonction sinus $ \sin(x) $ est impaire.

La fonction tangente $ \tan(x) $ est impaire.

Les développements en séries entières ou polynomes des fonctions paires (respectivement impaires) ont des degrés pairs (respectivement impaires).

Oui, la fonction $ f(x) = 0 $ (fonction constante nulle) est à la fois paire et impaire car elle respecte les 2 égalités $ f(x) = f(-x) = 0 $ et $ f(x) = -f(-x) = 0 $