Méthode de Newton Raphson

La méthode de Newton-Raphson est un algorithme itératif destiné à approcher une racine réelle ou complexe d'une fonction en résolvant $ f(x) = 0 $

Elle repose sur une approximation locale de $ f $ au voisinage d'un point $ x_n $ via le développement en série de Taylor à l'ordre 1 : $ f(x) \approx f(x_n) + f'(x_n)(x - x_n) $

La formule d'itération est : $ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} $

Cette méthode est particulièrement efficace pour sa convergence quadratique sous de bonnes conditions initiales.

La méthode de Newton-Raphson est privilégiée pour plusieurs raisons :

— Convergence quadratique locale : lorsque les conditions sont réunies, l'erreur vérifie asymptotiquement $ | \epsilon_{n+1} | \approx C |\epsilon_n|^2 $, ce qui implique un doublement approximatif du nombre de chiffres significatifs corrects à chaque itération, une fois suffisamment proche de la racine.

— Efficacité : en nombre d'itérations, elle surpasse les méthodes à convergence linéaire comme la dichotomie.

— Précision analytique : elle exploite explicitement l'information contenue dans la dérivée.

Pour maximiser les chances de convergence :

— Proximité de la racine : plus $ x_0 $ est proche d'une racine simple, plus la convergence quadratique est probable.

— Encadrement préalable : utiliser une méthode robuste comme la dichotomie pour isoler une racine, puis appliquer Newton pour accélérer la convergence.

— Éviter les zones critiques : si $ f'(x_0) \approx 0 $, le terme $ \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} $ devient très grand et peut provoquer une divergence.

La méthode présente plusieurs limites :

— Dérivée nulle ou quasi nulle : si $ f'(x_n) = 0 $, l'itération est impossible.

— Sensibilité à l'initialisation : un mauvais $ x_0 $ peut entraîner divergence ou cycles.

— Fonctions non différentiables : la méthode requiert au minimum la différentiabilité locale.

— Racines multiples : si $ r $ est de multiplicité $ m > 1 $, la convergence devient seulement linéaire.

Appliquée à des polynômes complexes, la méthode définit une dynamique itérative dans le plan complexe.

Chaque point initial $ z_0 $ converge vers une racine donnée (si convergence il y a). L'ensemble des points convergeant vers la même racine constitue un bassin d'attraction.

Plusieurs méthodes alternatives existent, selon le contexte :

— Méthode de la dichotomie : Robuste mais lente (convergence linéaire), idéale pour encadrer une racine.

— Méthode de la sécante : Moins sensible à $ x_0 $, convergence super-linéaire, mais nécessite deux estimations initiales.

— Méthode de Halley : Convergence cubique, mais plus complexe à implémenter (utilise la dérivée seconde).

— Méthodes quasi-Newton (ex : BFGS) : Pour les systèmes non linéaires, évitant le calcul explicite du jacobien.

— Méthode du point fixe : Simple mais convergence linéaire, utile pour des équations de la forme $ x = g(x) $.