Interpolation de Newton

L'interpolation de Newton désigne une méthode permettant de construire un polynome d'interpolation passant par un ensemble de points $ (x_i,y_i) $. Elle repose sur le calcul des différences divisées et fournit un polynome sous une forme factorisée qui permet d'ajouter facilement de nouveaux points sans tout recalculer.

Pour retrouver le polynome d'interpolation de Newton associé à des points $ (x_i,y_i) $, utiliser les différences divisées pour construire la forme de Newton du polynome. A partir de $ n+1 $ points connus, le polynome s'écrit

$$ P(x)= [y_0] + [y_0,y_1] (x-x_0) + \ldots + [y_0,\ldots ,y_n] (x-x_0) \ldots (x-x_{n-1}) $$

avec la notation $ [y_i] $ pour les différences divisées.

Chaque coefficient $ [y_0,\ldots,y_k] $ se calcule en utilisant les valeurs $ (x_i,y_i) $.

Les différences divisées de Newton sont notées $ [y_i] $ se calculent par la formule $$ [y_0,\dots ,y_k]=\sum_{j=0}^k {\frac{y_j}{\prod_{0\leq i\leq k,\,i\neq j}(x_j-x_i)}} $$ elles interviennent dans le calcul de l'interpolation de Newton.

Les deux formes décrivent le même polynome d'interpolation. La forme de Lagrange utilise des polynomes de base $ L_i(x) $ tandis que la forme de Newton s'appuie sur des produits factorisés $ (x-x_0)\ldots(x-x_{k-1}) $. Les deux constructions sont algébriquement équivalentes mais la forme de Newton est plus pratique pour ajouter un point sans recalcul complet.