Outil pour retrouver l'équation d'une courbe via l'algorithme de Newton. L'interpolation newtonienne est une approximation polynomiale permettant d'obtenir le polynôme de Lagrange comme équation de la courbe en connaissant ses points.
Interpolation de Newton - dCode
Catégorie(s) : Fonctions
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Interpolation de Newton
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Réponses aux Questions (FAQ)
Comment retrouver l'équation d'une courbe avec l'algorithme de Newton ?
dCode permet d'utiliser la méthode de Newton pour l'Interpolation de Polynome afin de retrouver l'équation du polynome (identique à Lagrange) sous la forme de Newton ) à partir des valeurs déjà connues de la fonctions.
A partir de $ n+1 $ points connus $ (x_i,y_i) $, la forme de Newton du polynome est égale à $$ P(x)= [y_0] + [y_0,y_1] (x-x_0) + \ldots + [y_0,\ldots ,y_n] (x-x_0) \ldots (x-x_{n-1}) $$
avec la notation $ [y_i] $ pour les différences divisées.
Exemple : Courbe dont les points (1,3) et (2,5) sont connus. $$ P(x) = [y_0] + [y_0,y_1] (x-x_0) \\ = 3 + \left(\frac{3}{1-2}+\frac{5}{2-1}\right) (x-1) = 3+2(x-1) = 2x+1 $$
Quelles sont les différences divisées ?
Les différences divisées de Newton sont notées $ [y_i] $ se calculent par la formule $$ [y_0,\dots ,y_k]=\sum_{j=0}^k {\frac{y_j}{\prod_{0\leq i\leq k,\,i\neq j}(x_j-x_i)}} $$ elles interviennent dans le calcul de l'interpolation de Newton.
NB : Si $ k = 0 $, alors le produit $ \prod(x_j-x_i) = 1 $ (produit vide)
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