Interpolation de Lagrange

L'interpolation de Lagrange est une méthode permettant de déterminer le polynôme $ P $ de degré $ n $ qui passe par $ n+1 $ points distincts donnés $ \{ (x_0,y_0), (x_1,y_1), \dots, (x_n,y_n) \} $

Le polynôme interpolateur de Lagrange s'écrit sous la forme $$ P(X) = \sum_{j=0}^n y_j \left(\prod_{i=0,i\neq j}^n \frac{X-x_i}{x_j-x_i} \right) $$

Il vérifie $ P(x_j) = y_j $ pour tout $ j $, ce qui garantit que la courbe passe exactement par les points donnés.

Pour des abscisses distinctes, il existe un unique polynôme interpolateur de Lagrange.

À partir d'un ensemble de points dont les coordonnées sont connues, l'interpolation de Lagrange permet de construire explicitement le polynôme $ P(x) $. Ce polynome peut ainsi prédire d'autres points (par extrapolation) en se basant sur l'hypothèse que la courbe formée par ces points est issue d'une équation de type polynomiale.

L'interpolation de Lagrange nécessite que les abscisses $ x_i $ soient deux à deux distinctes, condition indispensable pour garantir l'existence et l'unicité du polynôme interpolateur.

Lorsque le nombre de points augmente, le degré du polynôme augmente également, ce qui rend l'expression plus lourde à manipuler et accroît le coût de calcul.

D'un point de vue numérique, la méthode peut devenir instable en présence de nombreux points ou lorsque ceux-ci sont mal répartis, car les erreurs d'arrondi peuvent être amplifiées. De plus, pour des points équidistants et un degré élevé, le polynôme peut présenter de fortes oscillations aux extrémités de l'intervalle d'interpolation, phénomène connu sous le nom de phénomène de Runge.

Pour estimer une nouvelle valeur $ x $, évaluer $ P(x) $ :

— si $ x $ appartient à l'intervalle $ [\min x_i,\max x_i] $, il s'agit d'une interpolation ;

— sinon, il s'agit d'une extrapolation, généralement moins fiable.

La qualité de l'estimation dépend fortement du nombre de points utilisés et de leur répartition.