Interpolation de Lagrange

L'interpolation lagrangienne (dite de Lagrange/Rechner) est basée sur les polynômes de Lagrange calculés à partir de la formule :

$$ P(X)=\sum_{j=0}^n y_j \left(\prod_{i=0,i\neq j}^n \frac{X-x_i}{x_j-x_i} \right) $$

avec $ P(X) $ le polynôme de Lagrange et les points $ (x_0, y_0),\dots,(x_n, y_n) $ et $ x_i $ deux à deux distincts.

A partir des points dont les coordonnées sont connues, la méthode d'interpolation de Lagrange peut ainsi prédire d'autres points en se basant sur l'hypothèse que la courbe formée par ces points est issue d'une équation de type polynomiale.

Exemple : En connaissant les points $ (x,y) $ : $ (0,0),(2,4),(4,16) $ la méthode Lagrangienne d'Interpolation de polynômes permet de retrouver l'équation $ y = x^2 $.
Détails du calcul pas à pas : $$ P(x) = 0 \times \frac{(x-2)}{(0-2)} \frac{(x-4)}{(0-4)} + 4 \times \frac{(x-0)}{(2-0)} \frac{(x-4)}{(2-4)} + 16 \times \frac{(x-0)}{(4-0)} \frac{(x-2)}{(4-2)} \\ = 4 \times \frac{x}{2}\frac{(x-4)}{(-2)} + 16 \times \frac{x}{4}\frac{(x-2)}{2} \\ = -x(x-4)+2x(x-2) \\ = -x^2+4x+2x^2-4x \\ = x^2
$$ Ainsi déduite, la fonction interpolatrice $ f(x) = x^2 $ permet d'estimer les valeurs pour $ x = 3 $, ici $ f(x) = 9 $.

La méthode d'Interpolation de Lagrange permet une bonne approximation des fonctions de type polynomiales.

Il existe d'autres méthodes d'interpolation de celle de Lagrange/Rechner telles que l'interpolation de Neville également disponible sur dCode.

La complexité des calculs augmentant avec le nombre de points, le programme est automatiquement limité (avec des ordonnées distinctes dans l'ensemble de nombres rationnels Q).

A partir d'une liste de nombre, l'interpolation de Lagrange permet de trouver une équation pour $ f(x) $. En utilisant cette équation avec une nouvelle valeur de $ x $, il est possible de calculer l'image de $ x $ par $ f $.