Outil pour calculer le discriminant d'un polynome pour en déduire ses racines (valeurs ou l'expression est nulle, égale à 0).
Discriminant d'un Polynome - dCode
Catégorie(s) : Fonctions
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Discriminant d'un Polynome
Calcul du Discriminant
Réponses aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce qu'un discriminant ? (Définition)
Un discriminant d'un polynome est une expression permettant de connaitre la nature des racines du polynôme.
Comment calculer un discriminant ?
Pour un polynome de degré deux (polynôme du second degré de type $ ax^2+bx+c $), le discriminant dénommé delta $ \Delta $ est calculé avec la formule :
$$ \Delta = b^2-4ac $$
Le fait de connaitre la valeur du discriminant permet ensuite de résoudre l'équation plus facilement grâce à des formules (qui utilisent ce discriminant).
Exemple : L'équation $ 2x^2+3x+1 = 0 $ de type $ ax^2+bx+c $ (donc avec $ a = 2 $, $ b = 3 $ et $ c = 1 $) a pour calcul de discriminant $ \Delta = b^2-4ac = 3^2-4*2*1 = 1 $
Pour un polynome de degré 3 de la forme $ ax^3+bx^2+cx+d $ la formule du discriminant est
$$ \Delta = b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd $$
Pour un polynôme de degré 1 ou 0 le déterminant n'est généralement pas calculé, sa valeur n'a pas d'intéret.
Comment trouver les racines d'un polynome avec le déterminant ?
Pour un polynôme de degré 2 de type $ ax^2+bx+c = 0 $:
Si le discriminant est positif (strictement), l'équation a 2 solutions x1 et x2 :
$$ x_1 = \frac {-b + \sqrt \Delta}{2a} \\ x_2 = \frac {-b - \sqrt \Delta}{2a} $$
Exemple : L'équation $ 2x^2+3x+1 = 0 $ a pour discriminant $ \Delta = 1 $, donc ses solutions sont $ x_1 = -1/2 $ et $ x_2 = -1 $
Si le discriminant est nul, l'équation a une racine double :
$$ x_1=x_2 = -\frac b{2a} $$
Si le discriminant est négatif (strictement), l'équation a 2 solutions conjuguées complexes :
$$ \delta^2 = \Delta $$
$$ x_1 = \frac {-b + \delta}{2a} \\ x_2 = \frac {-b - \delta}{2a} $$
Pour les équations de degrés supérieurs, les calculs sont beaucoup plus compliqués mais la connaissance des déterminants reste importante.
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Discriminant d'un Polynome sur dCode.fr [site web en ligne], consulté le 21/09/2023,
