Discriminant d'un Polynome

Pour un polynome de degré deux (polynome du second degré de type $ ax^2+bx+c $), le discriminant dénommé delta $ \Delta $ est calculé avec la formule :

$$ \Delta = b^2-4ac $$

Le fait de connaitre la valeur du discriminant permet ensuite de résoudre l'équation plus facilement grâce à des formules (qui utilisent ce discriminant).

Exemple : L'équation $ 2x^2+3x+1 = 0 $ de type $ ax^2+bx+c $ (donc avec $ a = 2 $, $ b = 3 $ et $ c = 1 $) a pour calcul de discriminant $ \Delta = b^2-4ac = 3^2-4*2*1 = 1 $

Pour un polynome de degré 3 de la forme \(ax^3+bx^2+cx+d\) la formule du discriminant est

$$ \Delta = b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd $$

Pour un polynome de degré 1 ou 0 le déterminant n'est généralement pas calculé, sa valeur n'a pas d'intéret.

Pour un polynome de degré 2 de type $ ax^2+bx+c = 0 $:

Si le discriminant est positif (strictement), l'équation a 2 solutions :

$$ x_1 = \frac {-b + \sqrt \Delta}{2a} \\ x_2 = \frac {-b - \sqrt \Delta}{2a} $$

Exemple : L'équation $ 2x^2+3x+1 = 0 $ a pour discriminant $ \Delta = 1 $, donc ses solutions sont $ x_1 = -1/2 $ et $ x_2 = -1 $

Si le discriminant est nul, l'équation a une racine double :

$$ x_1=x_2 = -\frac b{2a} $$

Si le discriminant est négatif (strictement), l'équation a 2 solutions conjuguées complexes :

$$ \delta^2 = \Delta $$

$$ x_1 = \frac {-b + \delta}{2a} \\ x_2 = \frac {-b - \delta}{2a} $$

Pour les équations de degrés supérieurs, les calculs sont beaucoup plus compliquées mais la connaissance des déterminants reste importante.