Discriminant d'un Polynome

Pour un polynome de degré deux (polynome du second degré de type \( ax^2+bx+c \)), le discriminant dénommé delta \( \Delta \) est calculé avec la formule :

$$ \Delta = b^2-4ac $$

Le fait de connaitre la valeur du discriminant permet ensuite de résoudre l'équation plus facilement grâce à des formules (qui utilisent ce discriminant).

Exemple : L'équation \( 2x^2+3x+1 = 0 \) de type \( ax^2+bx+c \) (donc avec \( a = 2 \), \( b = 3 \) et \( c = 1 \)) permet de calculer le \( \Delta = b^2-4ac = 3^2-4*2*1 = 1 \)

Pour un polynome de degré 3 de la forme \(ax^3+bx^2+cx+d\) le discriminant est $$ \Delta = b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd $$

Pour un polynome de degré 1 ou 0 le déterminant n'est généralement pas calculé, sa valeur n'a pas d'intéret.

Pour un polynome de degré 2 de type \( ax^2+bx+c = 0 \):

Si le discriminant est positif (strictement), l'équation a 2 solutions :

$$ x_1 = \frac {-b + \sqrt \Delta}{2a} $$

$$ x_2 = \frac {-b - \sqrt \Delta}{2a} $$

Exemple : L'équation \( 2x^2+3x+1 = 0 \) a \( \Delta = 1 \) donc ses solutions sont \( x_1 = -1/2 \) et \( x_2 = -1 \)

Si le discriminant est nul, l'équation a une racine double :

$$ x_1=x_2 = -\frac b{2a} $$

Si le discriminant est négatif (strictement), l'équation a des solutions complexes :

$$ \delta^2 = \Delta $$

$$ x_1 = \frac {-b + \delta}{2a} $$

$$ x_2 = \frac {-b - \delta}{2a} $$

Pour les équations de degrés supérieurs, les calculs sont beaucoup plus compliquées mais la connaissance des déterminants reste importante.