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Discriminant d'un Polynome

Outil pour calculer le discriminant d'un polynome. Un discriminant d'un polynome est une expression permettant de connaitre la nature des racines du polynome.

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Discriminant d'un Polynome -

Catégorie(s) : Fonctions

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Discriminant d'un Polynome

Calcul du Discriminant



Outil pour calculer le discriminant d'un polynome. Un discriminant d'un polynome est une expression permettant de connaitre la nature des racines du polynome.

Réponses aux Questions

Comment calculer un discriminant ?

Pour un polynome de degré deux (polynome du second degré de type $ ax^2+bx+c $), le discriminant dénommé delta $ \Delta $ est calculé avec la formule :

$$ \Delta = b^2-4ac $$

Le fait de connaitre la valeur du discriminant permet ensuite de résoudre l'équation plus facilement grâce à des formules (qui utilisent ce discriminant).

Exemple : L'équation $ 2x^2+3x+1 = 0 $ de type $ ax^2+bx+c $ (donc avec $ a = 2 $, $ b = 3 $ et $ c = 1 $) a pour calcul de discriminant $ \Delta = b^2-4ac = 3^2-4*2*1 = 1 $

Pour un polynome de degré 3 de la forme $ ax^3+bx^2+cx+d $ la formule du discriminant est

$$ \Delta = b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd $$

Pour un polynome de degré 1 ou 0 le déterminant n'est généralement pas calculé, sa valeur n'a pas d'intéret.

Comment trouver les racines d'un polynome avec le déterminant ?

Pour un polynome de degré 2 de type $ ax^2+bx+c = 0 $:

Si le discriminant est positif (strictement), l'équation a 2 solutions :

$$ x_1 = \frac {-b + \sqrt \Delta}{2a} \\ x_2 = \frac {-b - \sqrt \Delta}{2a} $$

Exemple : L'équation $ 2x^2+3x+1 = 0 $ a pour discriminant $ \Delta = 1 $, donc ses solutions sont $ x_1 = -1/2 $ et $ x_2 = -1 $

Si le discriminant est nul, l'équation a une racine double :

$$ x_1=x_2 = -\frac b{2a} $$

Si le discriminant est négatif (strictement), l'équation a 2 solutions conjuguées complexes :

$$ \delta^2 = \Delta $$

$$ x_1 = \frac {-b + \delta}{2a} \\ x_2 = \frac {-b - \delta}{2a} $$

Pour les équations de degrés supérieurs, les calculs sont beaucoup plus compliquées mais la connaissance des déterminants reste importante.

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