Interpolation Polynomiale

L'interpolation polynomiale est une méthode numérique fondamentale permettant de construire un polynôme unique qui passe exactement par un ensemble de points de données distincts.

Étant donné $ N $ points de coordonnées $ (x_i, y_i) $, l'objectif est de trouver un polynôme $ P(x) $ de degré au plus $ N-1 $ tel que $ P(x_i) = y_i $ pour tous les points.

Ce polynôme peut ensuite être utilisé pour estimer des valeurs en dehors de l'ensemble des données (extrapolation).

Plusieurs méthodes algébriques mènent au même polynôme unique, mais diffèrent dans leur formulation et leur efficacité de calcul.

— Lagrange : Construit le polynôme directement comme une combinaison linéaire de polynômes de base de Lagrange. Chaque polynôme de base vaut 1 en un point xᵢ et 0 en tous les autres. La méthode est conceptuellement simple et directe.

— Newton (différences divisées) : Construit le polynôme de manière itérative en utilisant un tableau de différences divisées. Cette méthode est plus efficace numériquement, surtout pour ajouter de nouveaux points de données, car elle ne nécessite pas de recalculer entièrement le polynôme.

— Neville : Evalue le polynôme interpolateur en un point spécifique sans explicitement calculer ses coefficients. C'est un algorithme récursif qui combine de manière astucieuse les interpolations de degré inférieur. Il est particulièrement utile lorsque seules les valeurs interpolées, et non l'équation complète, sont nécessaires.

Le phénomène Runge est un phénomène contre-intuitif où l'augmentation du nombre de points (et donc du degré du polynôme) dans une interpolation avec des points équidistants peut entraîner des oscillations non désirées.

La précision de l'interpolation se dégrade alors fortement. Pour atténuer cet effet, privilégier des points non-équidistants, qui minimisent l'oscillation du polynôme d'erreur.

Interpolation : Estimer une valeur à l'intérieur de l'intervalle de définition des données (entre les $ x_i $ min et max). La confiance dans le résultat est généralement élevée.

Extrapolation : Estimer une valeur en dehors de l'intervalle de définition des données. C'est une opération risquée, car le comportement du polynôme en dehors de la plage connue est imprévisible et souvent erroné, surtout avec des polynômes de haut degré.

Si deux points ou plus ont la même coordonnée $ x $ mais des coordonnées $ y $ différentes, il est impossible de trouver une fonction (et donc un polynôme) qui passe par tous ces points en même temps. Vérifier les données pour supprimer les doublons en $ x $.

Un polynôme de degré $ N-1 $ possède exactement $ N $ coefficients libres.

Chaque condition $ P(x_i) = y_i $ fournit une équation linéaire. Avec $ N $ points, il est possible d'obtenir un système de $ N $ équations à $ N $ inconnues (les coefficients), qui a une solution unique.

Un degré plus bas serait sous-contraint, et un degré plus haut serait sur-contraint.