Fonction d'Erreur

La fonction d'erreur (parfois nommée fonction d'erreur de Gauss) est notée $ \operatorname{erf} $ et se définit par la formule $$ \operatorname{erf}(x)= \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-t^2} \, \mathrm{d}t $$

La fonction d'erreur renvoie un résultat entre -1 et 1.

Exemple : $ \operatorname{erf}(0) = 0 $, $ \operatorname{erf}(-\infty) = -1 $, $ \operatorname{erf}(+\infty) = 1 $

La fonction erf est une fonction impaire

La fonction d'erreur complémentaire est définie par $$ \operatorname{erfc}(x)= 1-\operatorname{erf}(x) $$

Exemple : $ \operatorname{erf}(x) + \operatorname{erfc}(x) = 1 $

Le développement en série de erf() permet un calcul numérique rapide (aux approximations près) selon la formule : $$ \operatorname{erf}(x)= \frac{2}{\sqrt{\pi}} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \frac{x^{2n+1}}{n!(2n+1)} = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \left( x - \frac{z^3}{3} + \frac{z^5}{10} - \frac{z^7}{42} + \frac{z^9}{216} + \cdots \right) $$

L'image d'une valeur négative $ -z $ est l'opposé de l'image de la valeur positive : $ \operatorname{erf}(-z) = -\operatorname{erf}(z) $

La dérivée de la fonction d'erreur est $$ \frac{d}{dz} \operatorname{erf}(z) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-z^2} $$

L'intégrale de la fonction d'erreur est $$ \int \operatorname{erf}(x)\, dx = \frac{e^{-x^2}}{\sqrt{\pi }}+x \operatorname{erf}(x) $$