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Fonction Réciproque

Outil pour calculer la réciproque d'une fonction f, c'est-à-dire la fonction inverse f-1 qui appliquée à la première renvoie la valeur initiale x.

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Fonction Réciproque -

Catégorie(s) : Fonctions

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Fonction Réciproque

Calculatrice de Fonction Réciproque



Voir aussi : Solveur d'Equation

Réponses aux Questions (FAQ)

Qu'est ce qu'une fonction réciproque ? (Définition)

La fonction réciproque d'une fonction $ f $ se note $ f^{(-1)} $ est telle que l'équation suivante est vérifiée : $$ f^{(-1)}(f(x)) = x $$

C'est à dire que c'est la fonction mathématique qui annule les effets d'une autre fonction.

Exemple : La réciproque de la fonction exponentielle $ \exp(x) $ est la fonction logarithme népérien $ \ln(x) $ car $ \exp( \ln (x) ) = x $

Bien que la fonction réciproque s'appelle parfois fonction inverse, et qu'elle est notée avec $ ^{-1} $ comme la fonction inverse $ 1/x $ veiller à ne pas confondre les deux.

Comment calculer une fonction réciproque ?

Pour trouver l'expression de la réciproque d'une fonction $ f(x) $, exprimer $ x $ en fonction de $ f(x) $ (pour faciliter les calculs, noter $ f(x) = y $ et exprimer $ f^{(-1)}(y) $)

Exemple : Calculer la réciproque de $ f(x) = y = 2x $, c'est calculer $ x = y/2 $ donc la réciproque de $ f^{(-1)}(y) = y/2 $ ce qui vérifie $ f^{(-1)}(f(x)) = (2x)/2 = x $

Voici quelques fonctions réciproques les plus courantes :

Fonction $ f(x) $Réciproque $ f^{(-1)}(x) $
$ x + a $$ x − a $
$ k.x $$ x/k $
$ x^2 $$ \sqrt{x} $
$ x^k $$ \sqrt[k]{x} $
$ \exp(x) $$ \ln(x) $
$ a^x $$ \log_a(x) $
$ \sin(x) $$ \arcsin(x) $
$ \cos(x) $$ \arccos(x) $
$ \tan(x) $$ \arctan(x) $

La fonction réciproque d'une fonction est-elle unique ?

Oui, il a été démontré que si la fonction réciproque d'une fonction existe alors il n'y en a qu'une seule, elle est unique.

Quelle fonction est sa propre réciproque ?

La fonction inverse $ f(x) = 1/x $ est sa propre fonction réciproque, elle est dite involutive.

Exemple : $ f(1/x) = 1/(1/x) = x $

Comment tracer graphiquement une fonction réciproque ?

Sur un graphe, la courbe d'une fonction réciproque $ f^{(-1)} $ est la courbe symétrique de la courbe $ f $ par rapport à l'axe diagonal $ y = x $

Quelle est la réciproque d'une fonction constante ?

La fonction réciproque d'une fonction constante $ f(x) = a $ est la fonction droite d'équation $ x = a $

Quelle sont les conditions d’existence d'une réciproque?

Pour qu'une fonction ait une fonction réciproque sur un intervalle, elle doit être bijective, continue et strictement monotone sur cet intervalle.

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Citer comme source bibliographique :
Fonction Réciproque sur dCode.fr [site web en ligne], consulté le 14/06/2024, https://www.dcode.fr/fonction-reciproque

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