Outil pour calculer la réciproque d'une fonction f, c'est-à-dire la fonction inverse f-1 qui appliquée à la première renvoie la valeur initiale x.
Fonction Réciproque - dCode
Catégorie(s) : Fonctions
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Fonction Réciproque
Calculatrice de Fonction Réciproque
Réponses aux Questions (FAQ)
Qu'est ce qu'une fonction réciproque ? (Définition)
La fonction réciproque d'une fonction $ f $ se note $ f^{(-1)} $ est telle que l'équation suivante est vérifiée : $$ f^{(-1)}(f(x)) = x $$
C'est à dire que c'est la fonction mathématique qui annule les effets d'une autre fonction.
Exemple : La réciproque de la fonction exponentielle $ \exp(x) $ est la fonction logarithme népérien $ \ln(x) $ car $ \exp( \ln (x) ) = x $
Bien que la fonction réciproque s'appelle parfois fonction inverse, et qu'elle est notée avec $ ^{-1} $ comme la fonction inverse $ 1/x $ veiller à ne pas confondre les deux.
Comment calculer une fonction réciproque ?
Pour trouver l'expression de la réciproque d'une fonction $ f(x) $, exprimer $ x $ en fonction de $ f(x) $ (pour faciliter les calculs, noter $ f(x) = y $ et exprimer $ f^{(-1)}(y) $)
Exemple : Calculer la réciproque de $ f(x) = y = 2x $, c'est calculer $ x = y/2 $ donc la réciproque de $ f^{(-1)}(y) = y/2 $ ce qui vérifie $ f^{(-1)}(f(x)) = (2x)/2 = x $
Voici quelques fonctions réciproques les plus courantes :
| Fonction $ f(x) $ | Réciproque $ f^{(-1)}(x) $ |
|---|---|
| $ x + a $ | $ x − a $ |
| $ k.x $ | $ x/k $ |
| $ x^2 $ | $ \sqrt{x} $ |
| $ x^k $ | $ \sqrt[k]{x} $ |
| $ \exp(x) $ | $ \ln(x) $ |
| $ a^x $ | $ \log_a(x) $ |
| $ \sin(x) $ | $ \arcsin(x) $ |
| $ \cos(x) $ | $ \arccos(x) $ |
| $ \tan(x) $ | $ \arctan(x) $ |
La fonction réciproque d'une fonction est-elle unique ?
Oui, il a été démontré que si la fonction réciproque d'une fonction existe alors il n'y en a qu'une seule, elle est unique.
Quelle fonction est sa propre réciproque ?
La fonction inverse $ f(x) = 1/x $ est sa propre fonction réciproque, elle est dite involutive.
Exemple : $ f(1/x) = 1/(1/x) = x $
Comment tracer graphiquement une fonction réciproque ?
Sur un graphe, la courbe d'une fonction réciproque $ f^{(-1)} $ est la courbe symétrique de la courbe $ f $ par rapport à l'axe diagonal $ y = x $
Quelle est la réciproque d'une fonction constante ?
La fonction réciproque d'une fonction constante $ f(x) = a $ est la fonction droite d'équation $ x = a $
Quelle sont les conditions d’existence d'une réciproque?
Pour qu'une fonction ait une fonction réciproque sur un intervalle, elle doit être bijective, continue et strictement monotone sur cet intervalle.
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