Fonction Réciproque

La fonction réciproque d'une fonction $ f $ se note $ f^{(-1)} $ est telle que l'équation suivante est vérifiée : $$ f^{(-1)}(f(x)) = x $$

Exemple : La réciproque de la fonction exponentielle $ \exp(x) $ est la fonction logarithme népérien $ \ln(x) $ car $ \exp( \ln (x) ) = x $

Bien que la fonction réciproque s'appelle parfois fonction inverse, et qu'elle est notée avec $ ^{-1} $ comme la fonction inverse $ 1/x $, veiller à ne pas confondre les deux.

Pour trouver l'expression de la réciproque d'une fonction $ f(x) $, exprimer $ x $ en fonction de $ f(x) $ (pour faciliter les calculs, noter $ f(x) = y $ et exprimer $ f^{(-1)}(y) $)

Exemple : Calculer la réciproque de $ f(x) = y = 2x $, c'est calculer $ x = y/2 $ donc la réciproque de $ f^{(-1)}(y) = y/2 $, ce qui vérifie $ f^{(-1)}(f(x)) = (2x)/2 = x $

Voici quelques fonctions réciproques les plus courantes :

Oui, il a été démontré que si la fonction réciproque d'une fonction existe alors il n'y en a qu'une seule, elle est unique.

La fonction inverse $ f(x) = 1/x $ est sa propre function réciproque, elle est dite involutive.

Exemple : $ f(1/x) = 1/(1/x) = x $

Sur un graphe, la courbe d'une fonction réciproque $ f^{(-1)} $ est la courbe symétrique de la courbe $ f $ par rapport à l'axe diagonal $ y = x $.