Ensembles de Nombres

En mathématique, il existe l'ensemble des entiers naturels N (ou ℕ), l'ensemble des entiers relatifs Z (ou ℤ), l'ensemble des nombres rationnels Q (ou ℚ), l'ensemble des nombres réels R (ou ℝ) et l'ensemble des nombres complexes C (ou ℂ). Ces 5 ensembles sont parfois abrégés en NZQRC.

D'autres ensembles comme l'ensemble des nombres décimaux D ou $ \mathbb{D} $, ou l'ensemble des nombres imaginaires purs I ou $ \mathbb{I} $ sont parfois utilisés. Il existe aussi les ensembles des quaternions, ou des nombres hypercomplexes mais ils sont réservés à des théories mathématiques avancées, NZQRC sont les ensembles les plus courants.

Le signe ∈ (Unicode 2208) signifie appartient à ou est un élément de.

Exemple : $ 2 \in \mathbb{N} $ se lit 2 appartient à l'ensemble N

Il existe aussi le signe ∊ (Unicode 220A) qui est le même en plus petit

Le signe ∉ (Unicode 2209) signifie n'a appartient pas à ou n'est pas un élément de.

Exemple : $ -2 \notin \mathbb{N} $

Le signe ⊂ (Unicode 2282) signifie est inclu dans ou est un sous-ensemble de

N est l'ensemble des nombres entiers naturels.

Exemple : 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... 10, 11, ..., 100, ... $ \in \mathbb{N} $

$ \mathbb{N}^* $ (N étoile) est l'ensemble des entiers naturels sauf 0 (zéro), il est aussi noté $ \mathbb{N}^{+} $

NB: Certains (vieux) manuels indiquent la lettre W au lieu de N pour cet ensemble, W pour Whole numbers

L'ensemble N est inclus dans les ensembles Z, D, Q, R et C.

Z est l'ensemble des nombres entiers relatifs, c'est à dire positifs, négatifs ou nuls.

Exemple : ..., -100, ..., -12, -11, -10, ..., -5, -4, -3, -2,- 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... 10, 11, 12, ..., 100, ... $ \in \mathbb{Z} $

$ \mathbb{Z}^* $ (Z étoile) est l'ensemble des entiers relatifs sauf 0 (zéro).

L'ensemble Z est inclus dans les ensembles D, Q, R et C

L'ensemble N est inclus dans l'ensemble Z (car tous les nombres entiers naturels font partie des entiers relatifs). Tout nombre dans N est aussi dans Z.

D est l'ensemble des nombres décimaux (son utilisation est rare et principalement limitée à l'Europe)

$$ \mathbb {D} = \left\{ \frac{a}{10^{p}} , a \in \mathbb{Z}, p \in \mathbb {N} \right\} $$

Pour simplifier, l'ensemble des nombres décimaux D sont des nombres qui peuvent s'écrire avec un nombre fini de chiffres (nombres contenant une virgule et une partie décimale finie).

Exemple : -123.45, -2.1, -1, 0, 5, 6.7, 8.987654 $ \in \mathbb{D} $

Les nombres utilisant des points de suspensions ... pour leur écriture décimale ont donc un nombre infini de chiffres après la virgules et donc n'appartiennent pas à l'ensemble D.

L'ensemble D est inclus dans les ensembles Q, R et C

Les ensembles N et Z sont inclus dans l'ensemble D (car tous les entiers sont des nombres décimaux qui n'ont pas de chiffres après la virgule). Tout nombre dans N ou Z est aussi dans D.

Q est l'ensemble des nombres rationnels, c'est à dire représentés par une fraction a/b avec a appartenant à Z et b appartenant à Z* (qui permet d'exclure la division par 0).

Exemple : 1/3, -4/1, 17/34, 1/123456789 $ \in \mathbb{Q} $

L'ensemble Q est inclus dans les ensembles R et C

Les ensembles N, Z et D sont inclus dans l'ensemble Q (car tous ces nombres peuvent être écrit en fraction). Tout nombre dans N ou Z ou D est aussi dans Q.

R est l'ensemble des nombres réels, c'est à dire tous les nombres qui peuvent exister réellement, il contient en plus des nombres rationnels, les nombres non rationnels ou irrationnels comme $ \pi $, ou $ \sqrt{2} $.

Les nombres irrationels ont une partie décimale infinie et non périodique.

Exemple : $ \pi $, $ \sqrt{2} $, $ \sqrt{3} $, ... $ \in \mathbb{R} $

$ \mathbb{R}^* $ (R étoile) est l'ensemble de nombres réels non nuls, donc tous sauf 0 (zéro), aussi écrit $ \mathbb{R}_{\neq0} $

$ \mathbb{R}_+ $ (R plus) est l'ensemble de nombres réels positifs (ou nuls), aussi écrit $ \mathbb{R}_{\geq0} $

$ \mathbb{R}_- $ (R moins) est l'ensemble de nombres réels négatifs (ou nuls), aussi écrit $ \mathbb{R}_{\leq0} $

$ \mathbb{R}_+^* $ (R étoile plus) est l'ensemble de nombres réels positifs non nuls, aussi écrit $ \mathbb{R}_{>0} $

$ \mathbb{R}_-^* $ (R étoile moins) est l'ensemble de nombres réels négatifs non nuls, aussi écrit $ \mathbb{R}_{<0} $

L'ensemble R est inclus dans l'ensemble C.

Les ensembles N, Z, D et Q sont inclus dans l'ensemble R. Tout nombre dans N ou Z ou D ou Q est aussi dans R.

I est l'ensemble des nombres imaginaires (purs), c'est à dire les nombres complexes sans partie réelles, les racines carrées des nombres réels négatifs sont des imaginaires purs.

Exemple : $ i \in \mathbb{I} $ avec $ i^2=-1 $

L'ensemble I est inclus dans l'ensemble C.

C est l'ensemble des nombres complexes, un ensemble créé par les mathématiciens comme une extension de l'ensemble des nombres réels auxquels sont ajoutés les nombres comportant une partie imaginaire.

Exemple : $ a + i b \in \mathbb{C} $

Les ensembles N, Z, D, Q, R et I sont inclus dans l'ensemble C. Tout nombre dans N ou Z ou D ou Q ou R ou I est aussi dans C.

L'ensemble vide est noté Ø, comme son nom l'indique il est vide, il ne contient aucun nombre.

Certains livres définissent les ensembles E pour les nombres entiers pairs (even en anglais) et O pour les nombres entiers impairs (odd en anglais). Ce n'est pas une notation standard.

Les liens entre les différents ensembles sont représentés par des inclusions : $$ N \subset Z \subset D \subset Q \subset R \subset C $$

Le symbole d'inclusion ⊆ est celui d'inclusion au sens large, A ⊆ B si tout élément de A est un élément de B.

Le symbole d'inclusion ⊂ ou ⊊ est celui d'inclusion au sens strict, A ⊂ B si tout élément de A est un élément de B et A ≠ B.

Q a été choisi pour le mot Quotient.

Si un élément appartient à $ \mathbb{X}^n $ où $ X $ est un ensemble et $ n $ un entier, alors il s'agit d'un tuple (n-uplet) de nombres (contenant $ n $ nombres).

Exemple : Le point P (a,b) du plan 2D appartient à $ \mathbb{R}^2 $.

Exemple : Le point P (a,b,c) a des coordonnées entières, il appartient à la grille 3D $ \mathbb{Z}^3 $.

Un ensemble de nombre s'écrit avec la balise mathbb : \mathbb{Z} pour $ \mathbb{Z} $