Ensembles de Nombres

En mathématique, il existe l'ensemble des entiers naturels N, l'ensemble des entiers relatifs Z, l'ensemble des nombres décimaux D, l'ensemble des nombres rationnels Q, l'ensemble des nombres réels R et l'ensemble des nombres complexes C.

D'autres ensembles comme les quaternions, ou les nombres hypercomplexes existent mais sont réservés à des théories mathématiques avancées, NZQRC sont les ensembles les plus courants.

N est l'ensemble des nombres entiers naturels

Exemple : 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... 10, 11, ..., 100, ...

$ \mathbb{N}^* $ (N étoile) est l'ensemble des entiers naturels sauf 0 (zéro), il est aussi noté $ \mathbb{N}^{+} $

Certains (vieux) manuels indiquent la lettre W au lieu de N pour cet ensemble, W pour Whole numbers

Z est l'ensemble des nombres entiers relatifs, c'est à dire positifs, négatifs ou nuls.

Exemple : ..., -100, ..., -12, -11, -10, ..., -5, -4, -3, -2,- 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... 10, 11, 12, ..., 100, ...

L'ensemble N est inclus dans l'ensemble Z (car tous les nombres entiers naturels font partie des entiers relatifs).

$ \mathbb{Z}^* $ (Z étoile) est l'ensemble des entiers relatifs sauf 0 (zéro).

D est l'ensemble des nombres décimaux (son utilisation est rare et principalement limitée à l'Europe)

$$ \mathbb {D} = \left\{ \frac{a}{10^{p}} , a \in \mathbb{Z}, p \in \mathbb {N} \right\} $$

Pour simplifier, l'ensemble des nombres décimaux D sont des nombres qui peuvent s'écrire avec un nombre fini de chiffres.

Exemple : -123.45, -2.1, -1, 0, 5, 6.7, 8.987654

Les ensembles N et Z sont inclus dans l'ensemble D (car tous les entiers sont des nombres décimaux qui n'ont pas de chiffres après la virgule).

Q est l'ensemble des nombres rationnels, c'est à dire représentés par une fraction a/b avec a appartenant à Z et b appartenant à Z* (qui permet d'exclure la division par 0).

Exemple : 1/3, -4/1, 17/34, 1/123456789

Les ensembles N, Z et D sont inclus dans l'ensemble Q (car tous ces nombres peuvent être écrit en fraction).

R est l'ensemble des nombres réels, c'est à dire tous les nombres qui peuvent exister réellement, il contient en plus des nombres rationnels, les nombres non rationnels ou irrationnels comme $ \pi $, ou $ \sqrt{2} $.

Exemple : $ \pi $, $ \sqrt{2} $, $ \sqrt{3} $, ...

Les ensembles N, Z, D et Q sont inclus dans l'ensemble R.

I est l'ensemble des nombres imaginaires, c'est à dire les nombres qui ne peuvent exister réellement, ces nombres ont été imaginés par des mathématiciens pour résoudre certaines équations.

Exemple : i, i^2=-1

C est l'ensemble des nombres complexes, c'est à dire l'ensemble des nombres réels R ainsi que l'ensemble des nombres imaginaires I.

Exemple : a+ib

Les ensembles N, Z, D, Q, R et I sont inclus dans l'ensemble C.

Certains livres définissent les ensembles E pour les nombres entiers pairs (even en anglais) et O pour les nombres entiers impairs (odd en anglais). Ce n'est pas une notation standard.

Les liens entre les différents ensembles sont représentés par des inclusions : $$ N \subset Z \subset D \subset Q \subset R \subset C $$

Le symbole d'inclusion ⊆ est celui d'inclusion au sens large, A ⊆ B si tout élément de A est un élément de B.

Le symbole d'inclusion ⊂ ou ⊊ est celui d'inclusion au sens strict, A ⊂ B si tout élément de A est un élément de B et A ≠ B.

Q a été choisi pour le mot Quotient.

Si un élément appartient à $ \mathbb{X}^d $ où $ X $ est un ensemble et $ d $ un entier, alors il s'agit d'un tuple (n-uplet) de nombres (contenant $ d $ nombres).

Exemple : Le point P (a,b) du plan 2D appartient à $ \mathbb{R}^2 $.

Exemple : Le point P (a,b,c) a des coordonnées entières, il appartient à la grille 3D $ \mathbb{Z}^3 $.

Un ensemble de nombre s'écrit avec la balise mathbb : \mathbb{Z} pour $ \mathbb{Z} $