Ensembles de Nombres

En mathématique, il existe l'ensemble des entiers naturels N (ou ℕ), l'ensemble des entiers relatifs Z (ou ℤ), l'ensemble des nombres rationnels Q (ou ℚ), l'ensemble des nombres réels R (ou ℝ) et l'ensemble des nombres complexes C (ou ℂ). Ces 5 ensembles sont parfois abrégés en NZQRC.

D'autres ensembles comme l'ensemble des nombres décimaux D ou $ \mathbb{D} $, ou l'ensemble des nombres imaginaires purs I ou $ \mathbb{I} $ sont parfois utilisés. Il existe aussi les ensembles des nombres transcendants, des quaternions, ou des nombres hypercomplexes mais ils sont réservés à des théories mathématiques avancées, NZQRC sont les ensembles les plus courants.

Le signe ∈ (Unicode 2208) signifie appartient à ou est un élément de.

Exemple : $ 2 \in \mathbb{N} $ se lit 2 appartient à l'ensemble N

Il existe aussi le signe ∊ (Unicode 220A) qui est le même en plus petit

Le signe ∉ (Unicode 2209) signifie n'a appartient pas à ou n'est pas un élément de.

Exemple : $ -2 \notin \mathbb{N} $

Le signe ⊂ (Unicode 2282) signifie est inclu dans ou est un sous-ensemble de

En maths, N est l'ensemble des nombres entiers naturels.

Exemple : 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... 10, 11, ..., 100, ... $ \in \mathbb{N} $

$ \mathbb{N}^* $ (N étoile) est l'ensemble des entiers naturels sauf 0 (zéro), il est aussi noté $ \mathbb{N}^{+} $

NB: Certains (vieux) manuels indiquent la lettre W au lieu de N pour cet ensemble, W pour Whole numbers

L'ensemble N est inclus dans les ensembles Z, D, Q, R et C.

Z est l'ensemble des nombres entiers relatifs, c'est à dire positifs, négatifs ou nuls.

Exemple : ..., -100, ..., -12, -11, -10, ..., -5, -4, -3, -2,- 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... 10, 11, 12, ..., 100, ... $ \in \mathbb{Z} $

$ \mathbb{Z}^* $ (Z étoile) est l'ensemble des entiers relatifs sauf 0 (zéro).

L'ensemble Z est inclus dans les ensembles D, Q, R et C

L'ensemble N est inclus dans l'ensemble Z (car tous les nombres entiers naturels font partie des entiers relatifs). Tout nombre dans N est aussi dans Z.

D est l'ensemble des nombres décimaux (son utilisation est rare et principalement limitée à l'Europe)

$$ \mathbb {D} = \left\{ \frac{a}{10^{p}} , a \in \mathbb{Z}, p \in \mathbb {N} \right\} $$

Pour simplifier, l'ensemble des nombres décimaux D sont des nombres qui peuvent s'écrire avec un nombre fini de chiffres (nombres contenant une virgule et une partie décimale finie).

Exemple : -123.45, -2.1, -1, 0, 5, 6.7, 8.987654 $ \in \mathbb{D} $

Les nombres utilisant des points de suspensions ... pour leur écriture décimale ont donc un nombre infini de chiffres après la virgules et donc n'appartiennent pas à l'ensemble D.

L'ensemble D est inclus dans les ensembles Q, R et C

Les ensembles N et Z sont inclus dans l'ensemble D (car tous les entiers sont des nombres décimaux qui n'ont pas de chiffres après la virgule). Tout nombre dans N ou Z est aussi dans D.

Q est l'ensemble des nombres rationnels, c'est à dire représentés par une fraction a/b avec a appartenant à Z et b appartenant à Z* (qui permet d'exclure la division par 0).

Exemple : 1/3, -4/1, 17/34, 1/123456789 $ \in \mathbb{Q} $

L'ensemble Q est inclus dans les ensembles R et C

Les ensembles N, Z et D sont inclus dans l'ensemble Q (car tous ces nombres peuvent être écrit en fraction). Tout nombre dans N ou Z ou D est aussi dans Q.

R est l'ensemble des nombres réels, c'est à dire tous les nombres qui peuvent exister réellement, il contient en plus des nombres rationnels, les nombres non rationnels ou irrationnels comme $ \pi $, ou $ \sqrt{2} $.

Les nombres irrationels ont une partie décimale infinie et non périodique.

Exemple : $ \pi $, $ \sqrt{2} $, $ \sqrt{3} $, ... $ \in \mathbb{R} $

$ \mathbb{R}^* $ (R étoile) est l'ensemble de nombres réels non nuls, donc tous sauf 0 (zéro), aussi écrit $ \mathbb{R}_{\neq0} $

$ \mathbb{R}_+ $ (R plus) est l'ensemble de nombres réels positifs (ou nuls), aussi écrit $ \mathbb{R}_{\geq0} $

$ \mathbb{R}_- $ (R moins) est l'ensemble de nombres réels négatifs (ou nuls), aussi écrit $ \mathbb{R}_{\leq0} $

$ \mathbb{R}_+^* $ (R étoile plus) est l'ensemble de nombres réels positifs non nuls, aussi écrit $ \mathbb{R}_{>0} $

$ \mathbb{R}_-^* $ (R étoile moins) est l'ensemble de nombres réels négatifs non nuls, aussi écrit $ \mathbb{R}_{<0} $

L'ensemble R est inclus dans l'ensemble C.

Les ensembles N, Z, D et Q sont inclus dans l'ensemble R. Tout nombre dans N ou Z ou D ou Q est aussi dans R.

I est l'ensemble des nombres imaginaires (purs), c'est à dire les nombres complexes sans partie réelles, les racines carrées des nombres réels négatifs sont des imaginaires purs.

Exemple : $ i \in \mathbb{I} $ avec $ i^2=-1 $

L'ensemble I est inclus dans l'ensemble C.

C est l'ensemble des nombres complexes, un ensemble créé par les mathématiciens comme une extension de l'ensemble des nombres réels auxquels sont ajoutés les nombres comportant une partie imaginaire.

Exemple : $ a + i b \in \mathbb{C} $

Les ensembles N, Z, D, Q, R et I sont inclus dans l'ensemble C. Tout nombre dans N ou Z ou D ou Q ou R ou I est aussi dans C.

L'ensemble vide est noté Ø, comme son nom l'indique il est vide, il ne contient aucun nombre.

Les nombres constructibles sont tous les nombres qui peuvent être géométriquement dessinés avec une règle non graduée et un compas.

Exemple : $ \sqrt{2} $ est un nombre constructible, mais $ \pi $ ne l'est pas.

Les nombres algébriques sont un ensmble de nombre pouvant être calculés comme une racine d'un polynome à coefficients rationnels .

Les nombres transcendants sont un ensmble de nombre ne pouvant être calculés comme une racine d'un polynome à coefficients rationnels (donc non algébriques).

Parmi les nombres réels ou complexes, la majorité sont des nombres transcendants.

Les nombres irrationnels sont un ensmble de nombre ne pouvant être écrit comme une fraction (c'est à dire tous les nombres qui ne sont pas dans $ \mathbb{Q} $)

Certains livres définissent les ensembles E pour les nombres entiers pairs (even en anglais) et O pour les nombres entiers impairs (odd en anglais). Ce n'est pas une notation standard.

Les liens entre les différents ensembles sont représentés par des inclusions : $$ N \subset Z \subset D \subset Q \subset R \subset C $$

Le symbole d'inclusion ⊆ est celui d'inclusion au sens large, A ⊆ B si tout élément de A est un élément de B.

Le symbole d'inclusion ⊂ ou ⊊ est celui d'inclusion au sens strict, A ⊂ B si tout élément de A est un élément de B et A ≠ B.

La lettre Q a été choisi pour le mot Quotient.

Si un élément appartient à $ \mathbb{X}^n $ où $ X $ est un ensemble et $ n $ un entier, alors il s'agit d'un tuple (n-uplet) de nombres (contenant $ n $ nombres).

Exemple : Le point P (a,b) du plan 2D appartient à $ \mathbb{R}^2 $.

Exemple : Le point P (a,b,c) a des coordonnées entières, il appartient à la grille 3D $ \mathbb{Z}^3 $.

Un ensemble de nombre s'écrit avec la balise mathbb : \mathbb{Z} pour $ \mathbb{Z} $