Flèches de Knuth

Les flèches de Knuth sont la représentation d'exponentiation répétées (puissances itérées de Knuth). Au même type que la multiplication est la répétition d'additions ($ 2 \times 3 = 2+2+2 $), au même type que l'exponentiation est la répétition de multiplications ($ 2^3 = 2 \times 2 \times 2 $), les flèches de Knuth est la répétition d'exponentiations (aussi appelé exponentiation itérée).

La notation de Knuth avec une seule flèche, représente une puissance unique (une flèche seule représente une exponentiation)

Exemple : $$ 3 \uparrow 3 = 3^3 = 27 $$

La notation de Knuth avec 2 flèches vers le haut est une puissance itérée

$$ a \uparrow \uparrow b = \underbrace{a_{}^{a^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^a}}}}}}_{b} $$

Exemple : $$ 3 \uparrow\uparrow 2 = 3^3 = 27 \\ 3 \uparrow\uparrow 3 = 3^{3^3} = 3^{27} = 7625597484987 \\ 3 \uparrow\uparrow 4 = 3^{3^{3^3}} = 3^{3^{27}} = 3^{7625597484987} $$

Remarque,

$$ a \uparrow\uparrow b = \underbrace{a_{}\uparrow a\uparrow\dots\uparrow a}_{b} $$

Exemple : $$ 3 \uparrow\uparrow 2 = 3 \uparrow 3 = 3^3 \\ 3 \uparrow\uparrow 3 = 3 \uparrow 3 \uparrow 3 = 3^{3^3} $$

Les flèches de Knuth produisent des nombres immensément grands (très grand entiers) que dCode ne peut afficher sans risquer de bloquer votre navigateur, il y a donc une limite automatique au delà de quelques milliers de chiffres.

La notation avec 3 flèche (triple fleche) est la continuité de la notation avec 2 flèches (double fleche)

$$ a \uparrow\uparrow\uparrow b = \underbrace{a_{}\uparrow\uparrow a\uparrow\uparrow\dots\uparrow\uparrow a}_{b} $$

Exemple : $$ 3 \uparrow\uparrow\uparrow 3 = 3 \uparrow\uparrow(3 \uparrow\uparrow 3) = 3 \uparrow\uparrow( 3 \uparrow 3 \uparrow 3) $$

Les flèches de Knuyth permettent de représenter des nombres tellement grand que les notations habituelles ne permettent pas de les décrire simplement ou avec précision.

Le calculateur de dCode est donc limité, car les nombres d'itérations dépassent rapidement les capacités des ordinateurs...