Flèches de Knuth

Les flèches de Knuth sont la représentation d'exponentiation répétées (puissances itérées de Knuth). Au même type que la multiplication est la répétition d'additions ( \( 2 \times 3 = 2+2+2 \) ), au même type que l'exponentiation est la répétition de multiplications ( \( 2^3 = 2 \times 2 \times 2 \) ), les flèches de Knuth est la répétition d'exponentiations (aussi appelé exponentiation itérée).

La notation de Knuth avec une seule flèche, représente une puissance unique

Exemple : $$ 3 \uparrow 3 = 3^3 = 27 $$

La notation de Knuth avec 2 flèches est une puissance itérée

$$ a \uparrow \uparrow b = \underbrace{a_{}^{a^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^a}}}}}}_{ b\mbox{ fois }} $$

Exemple : $$ 3 \uparrow\uparrow 2 = 3^3 = 27 $$

Exemple : $$ 3 \uparrow\uparrow 3 = 3^{3^3} = 3^{27} = 7625597484987 $$

Exemple : $$ 3 \uparrow\uparrow 4 = 3^{3^{3^3}} = 3^{3^{27}} = 3^{7625597484987} $$

Remarque

$$ a \uparrow\uparrow b = \underbrace{a_{}\uparrow a\uparrow\dots\uparrow a}_{ b\mbox{ fois}} $$

Exemple : $$ 3 \uparrow\uparrow 2 = 3 \uparrow 3 $$

Exemple : $$ 3 \uparrow\uparrow 3 = 3 \uparrow 3 \uparrow 3 $$

Les flèches de Knuth produisent des nombres immensément grands (très grand entiers) que dCode ne peut afficher sans risquer de bloquer votre navigateur, il y a donc une limite à 100000 chiffres.

La notation avec 3 flèche (triple fleche) est la continuité de la notation avec 2 flèches (double fleche)

$$ a \uparrow\uparrow\uparrow b = \underbrace{a_{}\uparrow\uparrow a\uparrow\uparrow\dots\uparrow\uparrow a}_{ b\mbox{ fois}} $$

Exemple : $$ 3 \uparrow\uparrow\uparrow 3 = 3 \uparrow\uparrow(3 \uparrow\uparrow 3) = 3 \uparrow\uparrow( 3 \uparrow 3 \uparrow 3) $$