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Flèches de Knuth

Outil pour écrire avec la notation fléchée des exponentiations itérées de Knuth : une notation mathématique avec des flèches qui permet d'écrire de trés grands entiers à l'aide de puissances répétées.

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Flèches de Knuth -

Catégorie(s) : Arithmétique, Système de Notation

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Flèches de Knuth

Calcul avec les flèches de Knuth A↑↑B



Réponses aux Questions (FAQ)

Que sont les flèches de Knuth ? (Définition)

Les flèches de Knuth (ou opérateurs fléchés de Knuth) sont un ensemble de symboles mathématiques dédié à la représentation d'exponentiation répétées (puissances itérées ou tétration).

$$ a \uparrow ^ n b = \begin{cases} a^b & n=1 \\ 1 & n > 1 \ \& \ b = 0 \\ a \uparrow ^ {n-1} (a \uparrow ^{n} (b-1)) & \end{cases} $$

Au même type que la multiplication est la répétition d'additions ($ 2 \times 3 = 2+2+2 $), au même type que l'exponentiation est la répétition de multiplications ($ 2^3 = 2 \times 2 \times 2 $), les flèches de Knuth est la répétition d'exponentiations (aussi appelé exponentiation itérée ou tétration).

Comment calculer avec les flèches de Knuth ? (Principe de calcul)

La notation de Knuth avec une seule flèche, représente une puissance unique (une flèche seule représente une exponentiation)

Exemple : $$ 3 \uparrow 3 = 3^3 = 27 $$

La notation de Knuth avec 2 flèches vers le haut est une puissance itérée

$$ a \uparrow \uparrow b = \underbrace{a_{}^{a^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^a}}}}}}_{b} $$

Exemple : $$ 3 \uparrow\uparrow 2 = 3^3 = 27 \\ 3 \uparrow\uparrow 3 = 3^{3^3} = 3^{27} = 7625597484987 \\ 3 \uparrow\uparrow 4 = 3^{3^{3^3}} = 3^{3^{27}} = 3^{7625597484987} $$

Remarque,

$$ a \uparrow\uparrow b = \underbrace{a_{}\uparrow a\uparrow\dots\uparrow a}_{b} $$

Exemple : $$ 3 \uparrow\uparrow 2 = 3 \uparrow 3 = 3^3 \\ 3 \uparrow\uparrow 3 = 3 \uparrow 3 \uparrow 3 = 3^{3^3} $$

Les flèches de Knuth produisent des nombres immensément grands (très grand entiers), si grand qu'ils ne peuvent pas être représentés (plus grands que l'espace mémoire disponible pour votre navigateur, voire plus grand que le nombre d'atomes dans l'univers). dCode ne réalisera pas les calculs au delà de quelques milliers de chiffres.

Que signifie 1 flèche de Knuth ?

La notation avec 1 flèche représente une exponentiation simple (une puissance, un exposant).

Exemple : $ 4 \uparrow 5 = 4 ^ 5 = 1024 $

Que signifient 3 flèches de Knuth ?

La notation avec 3 flèche (triple flèche) est la continuité de la notation avec 2 flèches (double flèche)

$$ a \uparrow\uparrow\uparrow b = \underbrace{a_{}\uparrow\uparrow a\uparrow\uparrow\dots\uparrow\uparrow a}_{b} $$

Exemple : $$ 3 \uparrow\uparrow\uparrow 3 = 3 \uparrow\uparrow(3 \uparrow\uparrow 3) = 3 \uparrow\uparrow( 3 \uparrow 3 \uparrow 3) $$

Peut-on utiliser des nombres à virgule ?

Non, la tétration n'est définie que pour des nombres entiers.

Inutile d'essayer avec des nombres décimaux, la virgule sera ignorée.

Pourquoi utiliser les flèches de Knuth ?

Les flèches de Knuth permettent de représenter des nombres tellement grands que les notations habituelles ne permettent pas de les écrire en chiffres facilement ou avec précision.

Le calculateur de dCode est donc limité, car les nombres d'itérations dépassent rapidement les capacités des ordinateurs.

Comment implémenter les flèches de knuth ?

Les flèches de Knuth sont généralement implémentées par récursion en code :

// pseudo-code
function knuthArrows(a, n, b) {
if (b == 0) return 1
if (n == 1) return a ** b
return knuthArrows(a, n-1, knuthArrows(a, n, b - 1))
}

Code source

dCode se réserve la propriété du code source pour "Flèches de Knuth". Sauf code licence open source explicite (indiqué Creative Commons / gratuit), l'algorithme pour "Flèches de Knuth", l'applet ou snippet (convertisseur, solveur, chiffrement / déchiffrement, encodage / décodage, encryptage / décryptage, traducteur) ou les fonctions liées à "Flèches de Knuth" (calculer, convertir, résoudre, décrypter / encrypter, déchiffrer / chiffrer, décoder / encoder, traduire) codés en langage informatique (Python, Java, C#, PHP, Javascript, Matlab, etc.) ou les données, en téléchargement, script, ou les accès API à "Flèches de Knuth" ne sont pas publics, idem pour un usage hors ligne, PC, mobile, tablette, appli iPhone ou Android !
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Citation

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Citer comme source bibliographique :
Flèches de Knuth sur dCode.fr [site web en ligne], consulté le 14/06/2024, https://www.dcode.fr/fleches-knuth

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