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Partitions d'un Nombre

Outil pour générer et explorer les partitions d'un nombre entier. Découvrez en détail la décomposition de tout nombre N en un ensemble de nombres plus petits, dont la somme est égale à N.

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Partitions d'un Nombre -

Catégorie(s) : Arithmétique

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Partitions d'un Nombre

Générateur de Partitions


Taille des partitions






Contenu de la Décomposition






Dénombrement de Partitions


Réponses aux Questions (FAQ)

Qu'est ce qu'une partition d'un nombre entier ? (Définition)

Définition : en mathématiques, une partition $ p(N) $ d'un nombre $ N $ est un ensemble des nombres (inférieurs ou égaux à $ N $) dont la somme vaut $ N $.

Exemple : Le nombre $ 5 $ peut être décomposé en $ 7 $ partitions distinctes : les additions sont $ 5, 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1, 1+1+1+1+1 $

Les permutations de partitions ne sont pas comptées : $ 4+1 $ et $ 1+4 $ sont considérées identiques

Exemple : Le nombre $ 10 $ possède $ 42 $ décompositions en partitions, et le nombre $ 100 $ en a $ 190569292 $.

Qu'est ce que la formule de Hardy et Ramanujan ?

En 1918, Hardy et Ramanujan ont trouvé une approximation de $ p(n) $ pour de grands nombres $ n $ :

$$ p(n) \sim \frac{1}{4n \sqrt{3}} ~ e^{\pi \sqrt{\frac{2n}{3}}} $$

Comment lister le nombre de façons de rendre la monnaie ?

Les partitions d'un nombre permettent de résoudre le problème du rendu de monnaie et de lister les façons de rendre la monnaie pour une valeur donnée.

Exemple : Il y a 49 façons de rendre 100€ en billets de 5€, 10€, 20€ ou 50€

Quelle est la différence entre les partitions distinctes et les partitions non distinctes d'un nombre ?

Les partitions distinctes d'un nombre entier sont des partitions où les nombres entiers dans la somme sont tous distincts les uns des autres.

Exemple : 5 = 1+4 = 2+3

Les partitions non distinctes incluent des nombres répétés.

Exemple : 5 = 1+1+1+2 = 1+2+2

Qu'est-ce qu'un diagramme de Ferrers ?

Les diagrammes de Ferrers sont des représentations graphiques des partitions d'un nombre à l'aide de points ou de cases dans des rangées.

Chaque rangée représente un nombre dans la somme de la partition. Les diagrammes de Ferrers sont une manière visuelle d'étudier les partitions d'un nombre et de comprendre leur structure.

Qu'est-ce la fonction de partitions p(n) ?

La fonction de partitions, souvent notée $ p(n) $, est une fonction mathématique qui compte le nombre de façons distinctes de partitionner un nombre entier positif $ n $ en une somme de nombres entiers positifs, sans tenir compte de l'ordre des termes. En d'autres termes, $ p(n) $ donne le nombre de partitions différentes d'un nombre donné $ n $.

Que sont les congruences de Ramanujan ?

Les congruences de Ramanujan, découvertes par le mathématicien Srinivasa Ramanujan, sont des congruences particulièrement remarquables qui concernent la fonction de partition p(n).

$$ \begin{align} p(5k+4) & \equiv 0 \pmod{5} \\ p(7k+5) & \equiv 0 \pmod{7} \\ p(11k+6) & \equiv 0 \pmod{11} \end{align} $$

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Citer comme source bibliographique :
Partitions d'un Nombre sur dCode.fr [site web en ligne], consulté le 16/06/2024, https://www.dcode.fr/generateur-partitions

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