Partitions d'un Nombre

En mathématiques, une partition d'un nombre entier naturel $ N $ est une écriture de $ N $ comme somme d'entiers naturels non nuls (inférieurs ou égaux à $ N $).

La fonction de décompte de partition $ p(N) $ dénombre le nombre de partitions d'un entier $ N $.

En 1918, G.H. Hardy et Srinivasa Ramanujan ont établi une formule asymptotique décrivant la croissance rapide de la fonction de partition pour les grands entiers $ N $ :

$$ p(n) \sim \frac{1}{4N \sqrt{3}} ~ e^{\pi \sqrt{\frac{2N}{3}}} $$

Cette formule montre que le nombre de partitions croît de manière quasi exponentielle et permet d'estimer $ p(N) $ lorsque le calcul exact devient difficile.

Le problème du rendu de monnaie peut se formuler comme un problème de partitions avec contraintes : calculer les partitions d'une somme donnée en utilisant uniquement un ensemble fixé de pièces ou de billets.

Les partitions distinctes d'un nombre entier sont des partitions où les nombres entiers dans la somme sont tous distincts les uns des autres.

Les partitions non distinctes incluent des nombres répétés.

Les diagrammes de Ferrers sont des représentations graphiques des partitions d'un nombre à l'aide de points ou de cases dans des rangées.

Chaque rangée représente un nombre dans la somme de la partition. Les diagrammes de Ferrers sont une manière visuelle d'étudier les partitions d'un nombre et de comprendre leur structure.

Les congruences de Ramanujan, découvertes par le mathématicien Srinivasa Ramanujan, sont des congruences particulièrement remarquables qui concernent la fonction de partition $ p(N) $.

$$ \begin{align} p(5k+4) & \equiv 0 \pmod{5} \\ p(7k+5) & \equiv 0 \pmod{7} \\ p(11k+6) & \equiv 0 \pmod{11} \end{align} $$

— Partitions en parties paires : Tous les termes de la partition sont pairs.

— Partitions en parties impaires : Tous les termes de la partition sont impairs.

C'est une partition où tous les termes sont identiques.

Ces partitions sont prévisible en connaissant la liste des diviseurs du nombres.