Extremum d'une Fonction

Pour trouver l'extremum d'une fonction (les points les plus haut ou les plus bas sur l'intervalle où est définie la fonction) calculer au préalable la dérivée de la fonction et faire une étude de signe.

Un extremum d'une fonction est atteint lorsque la dérivée s'annule et change de signe.

Il s'appelle extremum minimal ou un minimum (tout court) $ m $ (m minuscule), le minimum d'une fonction lorsque pour tout $ x $, $ f(x) >= m $ est supérieur ou égal au minimum $ m $.

Exemple : Determiner l'extremum du polynome $ f(x) = x^2 $ défini sur $ \mathbb{R} $ : la fonction admet un minimum en $ x=0 $ et $ f(x) >= 0 $ sur le domaine de définition $ \mathbb{R} $.

Il s'appelle extremum maximal ou maximum (tout court) $ M $ (M majuscule), le maximum d'une fonction lorsque pour tout $ x $, $ f(x) <= M $ est inférieur ou égal au maximum.

Un extremum d'une fonction se définit obligatoirement sur un intervalle. Si l'intervalle est la totalité du domaine de définition de la fonction alors il s'agit d'un extremum global/absolu, sinon c'est un extremum local/relatif.

Une fonction a toujours 2 extréma globaux, un maximum et un minimum.

pour une fonction constante le minimum et le maximum sont identiques.

Le nombre d'extremums locaux dépend de la fonction, mais pour un polynome de degré $ n $, il y a, au plus, $ n-1 $ extremums locaux.

Exemple : Le polynome de degré 2 $ x^2 $ possède $ 1 $ minimum local en $ x = 0 $

Extrema est la forme plurielle d'extremum (provient du latin signifiant Extrémité)