Rechercher un outil
Décomposition LU

Outil pour calculer et comprendre la décomposition LU, une méthode efficace de résolution de systèmes d'équations linéaires par factorisation via des matrices triangulaires.

Résultats

Décomposition LU -

Catégorie(s) : Matrice

Partager
Partager
dCode et plus

dCode est gratuit et ses outils sont une aide précieuse dans les jeux, les maths, les énigmes, les géocaches, et les problèmes à résoudre au quotidien !
Une suggestion ? un problème ? une idée ? Écrire à dCode !


Rendez-vous sur notre communauté Discord dCode pour participer au forum d'entraide !
PS : Pour les messages codés, testez notre détecteur de chiffrement !


Remarques et suggestions sont les bienvenues afin que dCode propose le meilleur outil 'Décomposition LU' gratuit ! Merci !

Décomposition LU

Décomposition LU d'une Matrice

Chargement en cours...
(si ce message ne disparait pas, actualiser la page)




Réponses aux Questions (FAQ)

Qu'est ce que la Décomposition LU ? (Définition)

La décomposition LU est une technique de factorisation d'une matrice carrée $ M $ en deux matrices triangulaires : une matrice triangulaire inférieure $ L $ et une matrice triangulaire supérieure $ U $ telles que $ M = L.U $.

La matrice $ L $ possède des 1 sur sa diagonale et des éléments non nuls sous la diagonale, tandis que la matrice $ U $ a des éléments non nuls au-dessus de la diagonale et sur la diagonale.

Cette méthode facilite la résolution de systèmes d'équations linéaires (algèbre) et certains calculs comme le déterminant de matrice ou l'inversion de matrice.

Comment calculer une Décomposition LU ?

Une méthode pour trouver la décomposition LU d'une matrice est de résoudre les équations linéaires.

Exemple : Factoriser en $ L.U $ la matrice $$ M = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} = L \cdot U = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ l_{21} & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} \\ 0 & u_{22} \end{bmatrix} $$ Les équations correspondantes sont : $$ \begin{aligned} 1 \cdot u_{11} + 0 \cdot 0 &= 1 \\ 1 \cdot u_{12} + 0 \cdot u_{22} &= 2 \\ l_{21} \cdot u_{11} + 1 \cdot 0 &= 3 \\ l_{21} \cdot u_{12} + 1 \cdot u_{22} &= 5 \end{aligned} $$ La résolution donne : $$ L = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \quad U = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} $$

Quelles sont les conditions pour utiliser la Décomposition LU ?

Pour utiliser la décomposition LU, la matrice doit être une matrice carrée (même nombre de lignes et de colonnes).

La matrice (ou une de ses permutations de lignes) doit être inversible. Certaines matrices peuvent nécessiter des permutations de lignes pour permettre la factorisation, ce qui donne lieu à la décomposition LU avec pivotage.

Exemple : Si $ M_{11} = 0 $ alors comme $ M_{11} = l_{11} \cdot u_{11} $, soit $ l_{11} $ soit $ u_{11} $ doit être nul, ce qui implique que $ L $ ou $ U $ est une matrice singulière (non inversible). Il est alors nécessaire de permuter les lignes de $ M $ afin que le premier élément de la matrice permutée soit différent de zéro.

Qu'est-ce que le pivotage en Décomposition LU ?

Le pivotage en décomposition LU consiste à permuter les lignes de la matrice A pour éviter les zéros sur la diagonale principale de la matrice U.

Si un pivot est nécessaire, dCode indique la matrice de permutation $ P $ et la matrice modifiée résultante $ P.M $. Les matrices $ L $ et $ U $ trouvées sont telles que $ L.U = P.M $

Code source

dCode se réserve la propriété du code source pour "Décomposition LU". Sauf code licence open source explicite (indiqué Creative Commons / gratuit), l'algorithme pour "Décomposition LU", l'applet ou snippet (convertisseur, solveur, chiffrement / déchiffrement, encodage / décodage, encryptage / décryptage, traducteur) ou les fonctions liées à "Décomposition LU" (calculer, convertir, résoudre, décrypter / encrypter, déchiffrer / chiffrer, décoder / encoder, traduire) codés en langage informatique (Python, Java, C#, PHP, Javascript, Matlab, etc.) ou les données, en téléchargement, script, ou les accès API à "Décomposition LU" ne sont pas publics, idem pour un usage hors ligne, PC, mobile, tablette, appli iPhone ou Android !
Rappel : dCode est gratuit.

Citation

Le copier-coller de la page "Décomposition LU" ou de ses résultats est autorisée (même pour un usage commercial) tant que vous créditez dCode !
L'exportation des résultats sous forme de fichier .csv ou .txt est gratuite en cliquant sur l'icone export
Citer comme source bibliographique :
Décomposition LU sur dCode.fr [site web en ligne], consulté le 18/07/2024, https://www.dcode.fr/decomposition-lu-matrice

Besoin d'Aide ?

Rendez-vous sur notre communauté Discord dCode pour participer au forum d'entraide !
PS : Pour les messages codés, testez notre détecteur de chiffrement !

Questions / Commentaires

Remarques et suggestions sont les bienvenues afin que dCode propose le meilleur outil 'Décomposition LU' gratuit ! Merci !


https://www.dcode.fr/decomposition-lu-matrice
© 2024 dCode — La 'boite à outils' indispensable qui sait résoudre tous les jeux / énigmes / géocaches / CTF.
 
Un problème ?