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Trigonalisation de Matrice

Outil de calcul de la triangularisation/trigonalisation de matrice afin d'écrire une matrice carrée en une composition d'une matrice triangulaire supérieure et d'une matrice unitaire.

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Trigonalisation de Matrice -

Catégorie(s) : Matrice

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Trigonalisation de Matrice

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Calculateur de Trigonalisation de Matrice

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Outil de calcul de la triangularisation/trigonalisation de matrice afin d'écrire une matrice carrée en une composition d'une matrice triangulaire supérieure et d'une matrice unitaire.

Réponses aux Questions

Qu'est ce que la Trigonalisation de Matrice ? (Définition)

La Trigonalisation de Matrice d'une matrice carré $ M $ consiste à écrire la matrice sous la forme : $$ M = Q.T.Q^{-1} $$

avec $ T $ une matrice triangulaire supérieure et $ Q $ une matrice unitaire (i.e. $ Q^*.Q = I $ matrice identité).

Ce calcul, aussi appelé décomposition de Schur, utilise les valeurs propres de la matrice comme valeurs de la diagonale.

Le théorème de Schur indique qu'il existe toujours au moins une décomposition sur $ \mathbb{C} $ (donc la matrice est trigonalisable/triangularisable).

Cette trigonalisation ne s'applique qu'aux matrices carrées numériques ou complexes (sans variables).

Comment calculer la matrice triangulaire ?

dCode utilise la décomposition de Schur via des algorithmes informatiques comme la décomposition QR.

Manuellement, pour une matrice matrice $ M $, calculer ses valeurs propres $ \Lambda_i $ et en déduire un vecteur propre $ u_1 $

Calculer sa valeur normalisée dans une base orthonormée $ {u_1, v_2} $ afin d'obtenir $ U = [ u_1, v_2 ] $

Exprimer ensuite la matrice dans la base orthonormée $ A_{{u_1,v_2}} = U^{-1}.A.U = U^{T}.A.U $

Enfin, répéter l'opération pour chaque vecteur propre afin d'obtenir la matrice triangulaire.

Pour une matrice 2x2, une seule opération est nécessaire et $ T = A_{{u_1,v_2}} $

Exemple : Triangularisation de Schur pour la matrice $ M = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} $ donne $$ Q = \begin{pmatrix} 0.909 & 0.415 \\ -0.415 & 0.909 \end{pmatrix}, T = \begin{pmatrix} 5.37 & −1 \\ 0 & −0.37 \end{pmatrix} $$

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