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Trigonalisation de Matrice

Outil de calcul de la triangularisation/trigonalisation de matrice afin d'écrire une matrice carrée en une composition d'une matrice triangulaire supérieure et d'une matrice unitaire.

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Trigonalisation de Matrice -

Catégorie(s) : Matrice

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Trigonalisation de Matrice

Calculateur de Trigonalisation de Matrice

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Réponses aux Questions (FAQ)

Qu'est ce que la Trigonalisation de Matrice ? (Définition)

La Trigonalisation (parfois nommée triangularisation) de Matrice d'une matrice carré $ M $ consiste à écrire la matrice sous la forme : $$ M = Q.T.Q^{-1} $$

avec $ T $ une matrice triangulaire supérieure et $ Q $ une matrice unitaire (i.e. $ Q^*.Q = I $ matrice identité).

Ce calcul, aussi appelé décomposition de Schur, utilise les valeurs propres de la matrice comme valeurs de la diagonale.

Le théorème de Schur indique qu'il existe toujours au moins une décomposition sur $ \mathbb{C} $ (donc la matrice est trigonalisable/triangularisable).

Cette trigonalisation ne s'applique qu'aux matrices carrées numériques ou complexes (sans variables).

Comment calculer la matrice triangulaire ?

dCode utilise la décomposition de Schur via des algorithmes informatiques comme la décomposition QR.

Manuellement, pour une matrice matrice $ M $, calculer ses valeurs propres $ \Lambda_i $ et en déduire un vecteur propre $ u_1 $

Calculer sa valeur normalisée dans une base orthonormée $ {u_1, v_2} $ afin d'obtenir $ U = [ u_1, v_2 ] $

Exprimer ensuite la matrice dans la base orthonormée $ A_{{u_1,v_2}} = U^{-1}.A.U = U^{T}.A.U $

Enfin, répéter cette opération pour chacun des vecteurs propres afin d'obtenir la matrice triangulaire.

Pour une matrice 2x2, une seule opération est nécessaire et $ T = A_{{u_1,v_2}} $

Exemple : Triangularisation de Schur pour la matrice $ M = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} $ donne $$ Q = \begin{bmatrix} 0.909 & 0.415 \\ -0.415 & 0.909 \end{bmatrix}, T = \begin{bmatrix} 5.37 & −1 \\ 0 & −0.37 \end{bmatrix} $$

Comment démontrer qu'une matrice est trigonalisable ?

Calculer polynôme caractéristique $ P $ de la matrice. Elle sera trigonalisable si et seulement si $ P $ est scindé. C'est-à-dire qu'il est représentable sous la forme d'un produit de polynômes du premier degré.

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Citer comme source bibliographique :
Trigonalisation de Matrice sur dCode.fr [site web en ligne], consulté le 15/06/2024, https://www.dcode.fr/trigonalisation-matrice

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