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Décomposition de Schur (Matrice)

Outil de calcul de la décomposition de Schur (ou triangulation de Schur) qui permet d'écrire toute matrice carrée numérique en une multiplication d'une matrice unitaire et une matrice triangulaire supérieure.

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Décomposition de Schur (Matrice) -

Catégorie(s) : Matrice

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Décomposition de Schur (Matrice)

Calculatrice de Décomposition de Schur

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Réponses aux Questions (FAQ)

Qu'est ce que la décomposition de Schur ? (Définition)

La décomposition de Schur d'une matrice carré $ M $ est son écriture sous la forme suivante (aussi appelée forme de Schur) : $$ M = Q.T.Q^{-1} $$

avec $ Q $ une matrice unitaire (telle que $ Q^*.Q = I $) et $ T $ est une matrice triangulaire supérieure dont les valeurs de la diagonale sont les valeurs propres de la matrice.

Cette décomposition ne s'applique qu'aux matrices carrées numériques (pas de variables). La matrice T est une trigonalisation (or triangulation).

Exemple : La triangulation de Schur de la matrice $ M = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} $ donne $$ Q = \begin{bmatrix} −0.825 & 0.566 \\ 0.566 & −0.825 \end{bmatrix}, T = \begin{bmatrix} −0.372 & −1 \\ 0 & 5.372 \end{bmatrix} $$

Il existe toujours une décomposition de Schur, toutes les matrices sont trigonalisables, mais pas de manière unique.

Comment calculer la décomposition de Schur ?

dCode utilise des algorithmes informatiques faisant intervenir la décomposition QR.

Manuellement, trouver un vecteur propre $ u_1 $ de la matrice $ M $ en calculant ses valeurs propres $ \Lambda_i $. Calculer sa valeur normalisée et une base orthonormée $ {u_1, v_2} $ afin d'obtenir $ U = [ u_1, v_2 ] $. Exprimer la matrice $ M $ dans la base orthonormée $ A_{{u_1, v_2}} = U^{-1}.A.U = U^{T}.A.U $. Répéter l'opération pour chaque vecteur propre afin d'obtenir la matrice triangulaire. NB : pour une matrice 2x2, une seule opération est nécessaire et $ T = A_{{u_1, v_2}} $

Pourquoi utiliser la décomposition de Schur ?

La décomposition de Schur permet de simplifier la forme des matrices et donc de faciliter la résolution d'équations linéaires ou de tout autre problème utilisant la matrice.

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Citer comme source bibliographique :
Décomposition de Schur (Matrice) sur dCode.fr [site web en ligne], consulté le 15/07/2024, https://www.dcode.fr/decomposition-schur-matrice

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