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Matrice Complémentaire

Outil pour calculer la Matrice Complémentaire d'une matrice carrée, le nom donné à la transposée de la comatrice, matrice des cofacteurs.

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Matrice Complémentaire -

Catégorie(s) : Mathématiques,Algèbre,Calcul Formel

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Matrice Complémentaire

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Calculatrice de la Matrice Complémentaire

Outil pour calculer la Matrice Complémentaire d'une matrice carrée, le nom donné à la transposée de la comatrice, matrice des cofacteurs.

Réponses aux Questions

Comment calculer la Matrice Complémentaire ?

Pour calculer la Matrice Complémentaire de la matrice carrée M, il faut calculer la transposée de la matrice des cofacteurshref de M. Pour chaque élément de la matrice, on calcule le déterminant de la sous-matricehref SM associée (aussi appelé mineur) et on a ajouté un facteur -1 selon la position dans la matrice.$$ {\rm Cof}_{i,j}=(-1)^{i+j}\text{Det}(SM_i) $$$$ {\rm Comp}=^{\operatorname t}{\rm Com} $$Pour une matrice 2x2 : $$ M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} $$$$ {\rm Cof}(M) = \begin{pmatrix} \,\,\,{{d}} & \!\!{{-c}}\\ {{-b}} & {{a}} \end{pmatrix}$$Pour une matrice 3x3 : $$ M = \begin{pmatrix} a & b & c \\d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} $$$$ {\rm Cof}(M) = \begin{pmatrix} +\begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} d & e \\ g & h \end{vmatrix} \\ & & \\ -\begin{vmatrix} b & c \\ h & i \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a & c \\ g & i \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a & b \\ g & h \end{vmatrix} \\ & & \\ +\begin{vmatrix} b & c \\ e & f \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a & c \\ d & f \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a & b \\ d & e \end{vmatrix} \end{pmatrix} $$Il suffit ensuite de prendre la transposée. Ainsi :$$ {\rm Comp}(M) = \begin{pmatrix} \,\,\,{{d}} & \!\!{{-b}}\\ {{-c}} & {{a}} \end{pmatrix}$$

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