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Matrice Complémentaire

Outil pour calculer la Matrice Complémentaire d'une matrice carrée, le nom donné à la transposée de la comatrice, matrice des cofacteurs.

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Matrice Complémentaire -

Catégorie(s) : Mathématiques,Algèbre,Calcul Formel

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Matrice Complémentaire

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Calculatrice de la Matrice Complémentaire

Outil pour calculer la Matrice Complémentaire d'une matrice carrée, le nom donné à la transposée de la comatrice, matrice des cofacteurs.

Réponses aux Questions

Comment calculer la Matrice Complémentaire ?

Pour calculer la Matrice Complémentaire \( {\rm Comp} \) de la matrice carrée \( M \), il faut calculer \( ^{\operatorname t}{\rm Cof} \) : la transposée de la comatricehref (matrice des cofacteurshref) de \( M \).

$$ {\rm Comp}=^{\operatorname t}{\rm Cof} $$

Pour calculer la comatricehref \( {\rm Cof}(M) \), on calcule, pour chaque élément de la matrice \( M \), le déterminant de la sous-matricehref \( SM \) associée (aussi appelé mineur) et on multiple par un facteur \( -1 \) selon la position dans la matrice.

$$ {\rm Cof}_{i,j} = (-1)^{i+j}\text{Det}(SM_i) $$

Pour une matrice 2x2 : $$ M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} $$

$$ {\rm Cof}(M) = \begin{pmatrix} {{d}} & {{-c}} \\ {{-b}} & {{a}} \end{pmatrix} $$

Pour une matrice 3x3 : $$ M = \begin{pmatrix} a & b & c \\d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} $$

$$ {\rm Cof}(M) = \begin{pmatrix} +\begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} d & e \\ g & h \end{vmatrix} \\ & & \\ -\begin{vmatrix} b & c \\ h & i \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a & c \\ g & i \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a & b \\ g & h \end{vmatrix} \\ & & \\ +\begin{vmatrix} b & c \\ e & f \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a & c \\ d & f \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a & b \\ d & e \end{vmatrix} \end{pmatrix} $$

Pour obtenir la matrice complémentaire, il suffit ensuite de prendre la transposée de la comatricehref calculée.

$$ {\rm Comp}(M) = \begin{pmatrix} {{d}} & {{-b}} \\ {{-c}} & {{a}} \end{pmatrix} $$

Par exemple : $$ M = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow {\rm Cof}(M) = \begin{pmatrix} {{1}} & {{-2}} \\ {{-3}} & {{4}} \end{pmatrix} \Rightarrow {\rm Comp}(M) = \begin{pmatrix} {{1}} & {{-3}} \\ {{-2}} & {{4}} \end{pmatrix} $$

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