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Vecteurs Propres d'une Matrice

Outil de calcul des vecteurs propres d'une matrice. Les vecteurs propres d'une matrice sont les vecteurs dont la direction reste inchangée après multiplication par la matrice. Ils sont associés aux à une valeur propre.

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Vecteurs Propres d'une Matrice -

Catégorie(s) : Mathématiques,Algèbre,Calcul Formel

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Calculatrice de Vecteurs Propres

Outil de calcul des vecteurs propres d'une matrice. Les vecteurs propres d'une matrice sont les vecteurs dont la direction reste inchangée après multiplication par la matrice. Ils sont associés aux à une valeur propre.

Réponses aux Questions

Comment calculer les vecteurs propres d'une matrice ?

Soit \( M \) une matrice carré d'ordre \( n \) et \( \lambda_i \) ses valeurs propreshref. Les vecteurs propres sont les solutions du systeme \( ( M − \lambda I_n ) \vec{X} = \vec{0} \) avec \( I_n \) la matrice identité.

Soit la matrice $$ M=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} $$
Les valeurs propreshref de la matrice \( M \) sont \( \lambda_1 = 5 \) et \( \lambda_2 = -1 \) (voir la page de calcul des valeurs propreshref d'une matrice).
Pour chaque valeur proprehref, on recherche le vecteur propre associé.
Pour \( \lambda_1 = 5 \), on résoud \( ( M − 5 I_n ) X = \vec{0} \) soit : $$ \begin{bmatrix} 1-5 & 2 \\ 4 & 3-5 \end{bmatrix} . \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$
on trouve comme solution $$ \begin{align} -4 x_1 + 2 x_2 &= 0 \\ 4 x_1 - 2 x_2 &= 0 \end{align} \iff \begin{matrix} x_1 = 1 \\ x_2 = 2 \end{matrix} $$
Donc le vecteur propre associé à \( \lambda_1 = 5 \) est \( \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \).
Pour \( \lambda_2 = -1 \), on résoud \( ( M + I_n ) X = \vec{0} \) soit : $$ \begin{bmatrix} 1+1 & 2 \\ 4 & 3+1 \end{bmatrix} . \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \\ \begin{align} 2 x_1 + 2 x_2 &= 0 \\ 4 x_1 + 4 x_2 &= 0 \end{align} \iff \begin{matrix} x_1 = -1 \\ x_2 = 1 \end{matrix} $$
Donc le vecteur propre associé à \( \lambda_1 = -1 \) est \( \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \).

Est-ce qu'un vecteur propre nul existe ?

Normalement la définition du vecteur propre l'exclus. Cependant s'il n'y a pas autant de vecteurs propres indépendants que de valeurs propreshref, dCode affichera un vecteur nul.

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Questions / Commentaires


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