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Vecteurs Propres d'une Matrice

Outil de calcul des vecteurs propres d'une matrice. Les vecteurs propres d'une matrice sont les vecteurs dont la direction reste inchangée après multiplication par la matrice. Ils sont associés aux à une valeur propre.

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Vecteurs Propres d'une Matrice -

Catégorie(s) : Mathématiques,Algèbre,Calcul Formel

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Calculatrice de Vecteurs Propres

Outil de calcul des vecteurs propres d'une matrice. Les vecteurs propres d'une matrice sont les vecteurs dont la direction reste inchangée après multiplication par la matrice. Ils sont associés aux à une valeur propre.

Réponses aux Questions

Comment calculer les vecteurs propres d'une matrice ?

Soit \( M \) une matrice carré d'ordre \( n \) et \( \lambda_i \) ses valeurs propreshref. Les vecteurs propres sont les solutions du systeme \( ( M − \lambda I_n ) \vec{X} = \vec{0} \) avec \( I_n \) la matrice identité.

$$ M=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} $$

Les valeurs propreshref de la matrice M sont \( \lambda_1 = 5 \) et \( \lambda_2 = -1 \).

On recherche par exemple le vecteur propre associé à \( \lambda_1 = 5 \). On résoud \( ( M − 5 I_n ) X = \vec{0} \) soit : $$ \begin{pmatrix} 1-5 & 2 \\ 4 & 3-5 \end{pmatrix} . \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

On trouve

$$ \begin{matrix} -4 x_1 + 2 x_2 = 0 \\ 4 x_1 - 2 x_2 = 0 \end{matrix} \iff \begin{matrix} x_1 = 1 \\ x_2 = 2 \end{matrix} $$

Le vecteur propre associé à \( \lambda_1 = 5 \) est \( \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \).

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